Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

56
Доказательство. На плоскости зададим две трапеции А
1
В
1
С
1
D
1
и
А
2
В
2
С
2
D
2
с основаниями А
1
В
1
и С
1
D
1
, А
2
В
2
и С
2
D
2
(Рис.4.13). Пусть А
1
В
1
= А
2
В
2
, В
1
С
1
=В
2
С
2
, С
1
D
1
=С
2
D
2
, А
1
D
1
= А
2
D
2
. Можно показать, что при заданных ус-
ловиях расстояния между основаниями этих трапеций, углы
∠ D
1
A
1
B
1
и ∠
D
2
A
2
B
2
равны. Для того чтобы доказать, что А
1
В
1
С
1
D
1
= А
2
В
2
С
2
D
2
покажем, что
существует движение плоскости, которое переводит одну из этих трапеций в
другую. Рассмотрим параллельный перенос, определяемый вектором
21
AA . При
этом переносе трапеция
А
1
В
1
С
1
D
1
перейдет в равную ей трапецию А
2
В
1
`С
1
`D
1
`.
Возможны два случая расположения трапеции
А
2
В
1
`С
1
`D
1
` относительно тра-
пеции
А
2
В
2
С
2
D
2
. Первый, когда они лежат в одной полуплоскости, определяе-
мой прямой
А
2
В
2
; второй, когда они не лежат в одной полуплоскости с грани-
цей
А
2
В
2
. Обозначим через
α
угол между прямыми А
1
В
1
и А
2
В
2
. Заметим, что
угол между прямыми, содержащими меньшие основания трапеции тоже равен
α
. В первом случае рассмотрим поворот плоскости вокруг точки А
2
на угол
α
по часовой стрелки. При этом отрезок
А
2
В
1
` перейдет в отрезок А
2
В
2
;
прямая
С
1
`D
1
` в прямую С
2
D
2
. Поскольку ∠ D
1
A
1
B
1
= ∠ D
2
A
2
B
2
, то при повороте во-
круг точки
А
2
на угол
α
образом точки D
1
` будет служить точка D
2
. Аналогич-
ным образом получаем, что образ точки
С
1
` совпадает с точкой С
2
.
C
1
D
`1
B
1
C
1
`
D
1
`
B
1
`
A
1
D
2
C
2
α
A
2
B
2
Рис.4.13
Итак, мы показали, что при композиции параллельного переноса на век-
тор
21
AA и поворота плоскости вокруг точки А
2
на угол
α
трапеция А
1
В
1
С
1
D
1
переходит в трапецию
А
2
В
2
С
2
D
2
. Значит они равны. Пусть теперь трапеции
А
2
В
1
`С
1
`D
1
` и А
2
В
2
С
2
D
2
не лежат в одной полуплоскости с границей А
2
В
2
. Рас-
смотрим поворот плоскости вокруг точки
А
2
на угол
α
−
0
360 по часовой стрел-
ке. Аналогичными рассуждениями можно показать, что при этом повороте тра-
пеция
А
2
В
1
`С
1
`D
1
` перейдет в трапецию А
2
В
2
С
2
D
2
. Если рассмотреть поворот
плоскости вокруг точки
А
2
на угол
α
по часовой стрелке, то трапеция
А
2
В
1
`С
1
`D
1
` перейдет в некоторую трапецию А
2
В
2
С
2
`D
2
`. Доказательство равен-
ства этих двух трапеций будет проведено при изучении темы “Осевая симмет-
                                      56

       Доказательство. На плоскости зададим две трапеции А1В1С1D1            и
А2В2С2D2 с основаниями А1В1 и С1D1 , А2В2 и С2D2 (Рис.4.13). Пусть А1В1 = А2В2
, В1С1 =В2С2 , С1D1 =С2D2 , А1D1 = А2D2. Можно показать, что при заданных ус-
ловиях расстояния между основаниями этих трапеций, углы ∠ D1A1B1 и ∠
D2A2B2 равны. Для того чтобы доказать, что А1В1С1D1 = А2В2С2D2 покажем, что
существует движение плоскости, которое переводит одну из этих трапеций в
другую. Рассмотрим параллельный перенос, определяемый вектором A1 A2 . При
этом переносе трапеция А1В1С1D1 перейдет в равную ей трапецию А2В1`С1`D1`.
Возможны два случая расположения трапеции А2В1`С1`D1` относительно тра-
пеции А2В2С2D2. Первый, когда они лежат в одной полуплоскости, определяе-
мой прямой А2В2 ; второй, когда они не лежат в одной полуплоскости с грани-
цей А2В2. Обозначим через α угол между прямыми А1В1 и А2В2. Заметим, что
угол между прямыми, содержащими меньшие основания трапеции тоже равен
α . В первом случае рассмотрим поворот плоскости вокруг точки А2 на угол α
по часовой стрелки. При этом отрезок А2В1` перейдет в отрезок А2В2 ; прямая
С1`D1` в прямую С2D2 . Поскольку ∠ D1A1B1 = ∠ D2A2B2 , то при повороте во-
круг точки А2 на угол α образом точки D1` будет служить точка D2. Аналогич-
ным образом получаем, что образ точки С1` совпадает с точкой С2 .
                         C1

               D`1              B1
                                                     C1`


                                      D1`
                                                           B1`
              A1                                    D2           C2


                                                α
                                           A2                     B2

                                     Рис.4.13

      Итак, мы показали, что при композиции параллельного переноса на век-
тор A1 A2 и поворота плоскости вокруг точки А2 на угол α трапеция А1В1С1D1
переходит в трапецию А2В2С2D2 . Значит они равны. Пусть теперь трапеции
А2В1`С1`D1` и А2В2С2D2 не лежат в одной полуплоскости с границей А2В2. Рас-
смотрим поворот плоскости вокруг точки А2 на угол 360 0 − α по часовой стрел-
ке. Аналогичными рассуждениями можно показать, что при этом повороте тра-
пеция А2В1`С1`D1` перейдет в трапецию А2В2С2D2 . Если рассмотреть поворот
плоскости вокруг точки А2 на угол α по часовой стрелке, то трапеция
А2В1`С1`D1` перейдет в некоторую трапецию А2В2С2`D2`. Доказательство равен-
ства этих двух трапеций будет проведено при изучении темы “Осевая симмет-

Страницы