Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

54
P
O
Пример 8. В правильном шестиугольнике ABCDEF точки M и N – сере-
дины сторон CD и DE, Р – точка пересечения отрезков АМ и BN (рис. 4.10).
1. Найдите угол между прямыми АМ и BN.
2. Докажите, что треугольник АВР и четырехугольник MDNP – равнове-
лики.
Решение. Применим поворот плоскости вокруг центра правильного шес-
тиугольника на 60°, переводящем вершину А в вершину В. При этом повороте
сторона CD перейдет в сторону DE, значит, точка М, как середина отрезка CD,
перейдет в точку N – середину отрезка DE. Следовательно, прямая АМ при по-
вороте плоскости вокруг точки О на 60° переходит в прямую BN. По свойству
поворота
угол между ними равен углу поворота, т.е. 60°. Далее отметим, что
при этом повороте плоскости пятиугольник АМDEF переходит в пятиугольник
BNEFA. Замечательным свойством этих пятиугольников является то, что они
содержат общую часть – это пятиугольник APNEF.
В С
М
А D
N
F E
Рис. 4.11
Если из пятиугольников AMDEF и BNEFA вырезать их общую часть –
пятиугольник APNEF, то получим равновеликие фигуры – треугольник ABP и
четырехугольник MDNP.
Пример 9.
Вокруг квадрата ABCD описан параллелограмм A
1
B
1
C
1
D
1
. До-
кажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин параллелограмма на сто-
роны квадрата, образуют квадрат.
Решение. Параллелограмм А
1
В
1
С
1
D
1
описан около квадрата ABCD так,
что точка А лежит на стороне А
1
В
1
, точка В – на стороне В
1
С
1
, точка С – на
стороне С
1
D
1
, а точка D – на стороне A
1
D
1
(рис. 4.12). Из вершин параллело-
                                    54



      Пример 8. В правильном шестиугольнике ABCDEF точки M и N – сере-
дины сторон CD и DE, Р – точка пересечения отрезков АМ и BN (рис. 4.10).
      1. Найдите угол между прямыми АМ и BN.
      2. Докажите, что треугольник АВР и четырехугольник MDNP – равнове-
лики.
      Решение. Применим поворот плоскости вокруг центра правильного шес-
тиугольника на 60°, переводящем вершину А в вершину В. При этом повороте
сторона CD перейдет в сторону DE, значит, точка М, как середина отрезка CD,
перейдет в точку N – середину отрезка DE. Следовательно, прямая АМ при по-
вороте плоскости вокруг точки О на 60° переходит в прямую BN. По свойству
поворота угол между ними равен углу поворота, т.е. 60°. Далее отметим, что
при этом повороте плоскости пятиугольник АМDEF переходит в пятиугольник
BNEFA. Замечательным свойством этих пятиугольников является то, что они
содержат общую часть – это пятиугольник APNEF.




                         В                       С

                                                     М
                                      P
                  А                                      D


                                      O
                                                 N


                             F               E
                                 Рис. 4.11
     Если из пятиугольников AMDEF и BNEFA вырезать их общую часть –
пятиугольник APNEF, то получим равновеликие фигуры – треугольник ABP и
четырехугольник MDNP.


      Пример 9. Вокруг квадрата ABCD описан параллелограмм A1B1C1D1. До-
кажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин параллелограмма на сто-
роны квадрата, образуют квадрат.
      Решение. Параллелограмм А1В1С1D1 описан около квадрата ABCD так,
что точка А лежит на стороне А1В1, точка В – на стороне В1С1 , точка С – на
стороне С1D1, а точка D – на стороне A1D1 (рис. 4.12). Из вершин параллело-

Страницы