Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 62 стр.

                                     62

     22. Внутри угла АСВ равнобедренного прямоугольного треугольника
АВС (∠С = 90°) взята точка М такая, что ВМ = СМ и ∠АМС = 75°. Доказать,
что АС = СМ и ∠ВМС = 60°.
      23. Внутри прямого угла АСВ равнобедренного прямоугольного треуголь-
ника АВС взята точка М такая, что ВМ = 1, СМ = 2 , ∠ВМС = 105°. Найти ве-
личину угла ∠АМС и длину отрезка АМ, стороны АВ.
      24. Через вершины А и В равностороннего треугольника АВС проведены
две прямые, пересекающиеся в точке М внутри треугольника. Найти величину
угла ∠САМ, если ∠АВМ = 10°, ∠ВАМ = 20°.
      25. Через вершины А и В равнобедренного треугольника АВС, у которого
АС = ВС и ∠С = 80°, проведены две прямые, пересекающиеся в точке М внутри
треугольника. Найти величину угла ∠ВМС, если ∠АВМ = 10°, ∠ВАМ = 20°.
      26. Через вершины А и В равнобедренного треугольника АВС, у которого
АС = ВС и ∠С = 80°, проведены две прямые, пересекающиеся в точке М внутри
треугольника. Найти величину угла ∠АМС, если ∠АВМ = 10°, ∠ВАМ = 20°.
      27. В равнобедренном треугольнике АВС АС = ВС и ∠С = 40°. Внутри
треугольника АВС взята точка М такая, что ∠АВМ = 20° и ∠ВАМ = 40°. Найти
величину угла ∠САМ.
      28. Равносторонний треугольник АВС повернут вокруг центра на 60°.
Доказать, что шестиугольник, полученный в пересечении его старого и нового
положений, правильный.
      29. На сторонах треугольника АВС, вне его, построены правильные тре-
угольники АВР, АСН, ВСМ. Доказать, что отрезки АМ, ВН, СР равны.
      30. На сторонах треугольника АВС построены, вне его, квадраты ABMN,
BCPQ. Доказать, что:
      а) отрезки AQ и СМ равны и перпендикулярны;
      б) при повороте на 90° вокруг центра квадрата ABMN отрезок ВС пере-
ходит в отрезок MT, равный и параллельный отрезку BQ;
      в) отрезок MQ перпендикулярен медиане ВК треугольника АВС и вдвое
больше ее.
      31. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС как на основаниях построе-
ны одинаково ориентированные квадраты FDMN и BCQP. Пусть О1, О2, соот-
ветственно, их центры; К – середина стороны АС; L – середина отрезка МР. До-
кажите, что четырехугольник О1LO2K – квадрат.
      32. Внутри отрезка АЕ взята точка С и построены (по одну сторону пря-
мой АВ) равносторонние треугольники АВС и CDE; точки М и Р – середины
отрезков AD и ВЕ. Доказать, что треугольник СРМ – равносторонний.
      33. Внутри отрезка АВ взята точка С и построены (по одну сторону пря-
мой АВ) квадраты АСМТ и СВРQ; точки К и L – середины отрезков AQ и ВМ.
Доказать, что CKL – равнобедренный прямоугольный треугольник.
      34. На сторонах остроугольного треугольника АВС, вне его, построены
равносторонние треугольники ABP, ACH, BCM. Доказать, что отрезки АМ, ВН,
СР проходят через одну точку, из которой стороны треугольника видны под уг-