Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 64 стр.

                                                       64

      §5 ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ

       Определение 1. Центральной симметрией с центром в точке M0 называ-
ется такое отображение плоскости (пространства) на себя, которое каждую точ-
ку М переводит в точку M` такую, что отрезок MM` в точке M0 делится попо-
лам.
            В пространстве зададим ПДСК Охуz и рассмотрим центральную
симметрию с центром в точке M0(х0, у0, z0). В пространстве возьмем любую точ-
ку M(x, y, z). При центральной симметрии точка М перейдет в точку M`(x`, y`,
z`). Поскольку M 0 M` = MM 0 , то
                                                  x` = − x + 2 x0 ,
                                                  y ` = − y + 2 y0 ,                     (5.1)
                                                  z ` = − z + 2 z0 .
    Используя формулы, задающие центральную симметрию относительно
ПДСК Охуz, можно доказать ряд ее свойств.

      Свойства центральной симметрии

        1. Центральная симметрия переводит прямую, не проходящую через
центр симметрии, в параллельную ей прямую; плоскость, не проходящую через
центр симметрии, – в параллельную ей плоскость.
       Доказательство. В пространстве зададим систему координат Oxyz и цен-
тральную симметрию, определяемую формулами (5.1). Произвольно возьмем
плоскость π , не проходящую через центр симметрии. Пусть относительно сис-
темы координат Oxyz эта плоскость задана уравнением Ax + By + Cz + D = 0 . Най-
дем уравнение ее образа при центральной симметрии. Для этого в уравнении
плоскости π заменим x, y, z на − x′ + 2 x0 ,− y ′ + 2 y0 ,− z ′ + 2 z 0 . Получим уравнение об-
раза плоскости π в виде A(− x′ + 2 x0 ) + B(− y ′ + 2 y0 ) + C (− z ′ + 2 z 0 ) + D = 0 или
Ax′ + By ′ + Cz ′ − D − 2( Ax0 + By0 + Cz 0 ) = 0 . Это уравнение определяет в пространстве
плоскость. Поскольку коэффициенты А,В,С при переменных x′, y ′, z ′ равны ко-
эффициентам при переменных x, y, z уравнения плоскости π , значит, плоскость,
определяемая уравнением Ax′ + By ′ + Cz ′ − D − 2( Ax0 + By0 + Cz 0 ) = 0 параллельна
плоскости π .

        2. При центральной симметрии центр симметрии неподвижен.
       Доказательство. Найдем образ центра симметрии. Для этого восполь-
зуемся формулами (5.1). Имеем
                         x` = − x 0 + 2 x 0 = x 0 ,
                         y` = − y0 + 2 y0 = y0 ,
                         z `= − z 0 + 2 z 0 = z 0 .