Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 65 стр.

                                                                 65

Откуда получаем, что центр симметрии при центральной симметрии остается
на месте.
        3. При центральной симметрии пространства всякая плоскость, про-
ходящая через центр симметрии, инвариантна.
        4. При центральной симметрии пространства(плоскости) всякая пря-
мая, проходящая через центр симметрии, инвариантна.
       5. При центральной симметрии сохраняется простое отношение трех то-
чек, в частности, середина отрезка переходит в середину отрезка.
       Доказательство. . Поскольку центральная симметрия сохраняет простое
отношение трех точек, значит, она сохраняет и отношение “лежать между”. Сле-
довательно, при центральной симметрии отрезок переходит в отрезок. Теперь
покажем, что эти отрезки имеют одинаковые длины. Для этого рассмотрим цен-
тральную симметрию с центром в точке M0.
                        N


                                                           M0                                                  M`
       M




                                                                                           N`

      Произвольно возьмем две точки М и N. Под действием центральной сим-
метрии они перейдут в точки M` и N`. Поскольку треугольники MNM0 и
M`N`M0 равны, значит, равны и отрезки MN и M`N`. Таким образом, централь-
ная симметрия является движением.

          6. Центральная симметрия переводит отрезок в отрезок, луч в луч, полу-
плоскость в полуплоскость, полупространство в полупространство.
      7. Центральная симметрия переводит ортонормированный репер R в
ортонормированный репер R`. При этом точка М(x,y,z) относительно репера
R переходит в точку M` с теми же координатами (x,y,z), но относительно ре-
пера R`.
       Доказательство. Пусть ортонормированный репер R определяется упо-
рядоченной четверкой точек R = {O, A1 , A2 , A3 } . При центральной симметрии, оп-
ределяемой формулами (5.1), вершины O, A1 , A2 , A3 перейдут в точки
                             ′                               ′                               ′
O ′(2 x0 ,2 y0 ,2 z 0 ),   A1 (−1 + 2 x0 ,2 y0 ,2 z 0 ),                        Что-
                                                           A2 (2 x0 ,−1 + 2 y0 ,2 z 0 ),   A3 (2 x0 ,2 y0 ,−1 + 2 z 0 ) .
бы доказать, что точки O′, A1′, A2′ , A3′ образуют ортонормированный репер доста-
точно показать, что координатные векторы e1′ = O′A1′, e2′ = O′A2′ , e3′ = O′A3′ еди-
ничны и взаимно ортогональны. Имеем e1′ = O′A1′ = {− 1,0,0},                                             e2′ = O ′A2′ = {0,−1,0},