Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 67 стр.

                                         67

М2 переходит в точку N`` такую, что NN `` = 2M 1M 2 Таким образом, мы полу-
чили, что MM `` = NN `` . Следовательно, MN = M ``N ``. А это значит, что ком-
позиция двух центральных симметрий является параллельным переносом.

     11. Композиция параллельного переноса и центральной симметрии явля-
ется центральной симметрией
     Доказательство. На плоскости (пространстве) зададим параллельный пе-
ренос Т a и центральную симметрию с центром в точке M0. Произвольно на
плоскости (пространстве) возьмем точку М. Под действием параллельного пе-
реноса она перейдет в точку M`, которая под действием центральной симмет-
рии с центром в точке М0 перейдет в точку M``(рис.5.2).


                                               a



                                     a                 M`
                           M
          N``
                                              M0
                     S
                                                   a          N`

                                 N
                     M``

                                Рис.5.2.

      Рассмотрим треугольник MM`M``. Через середину М0 отрезка M`M``
проведем прямую параллельную вектору a . Эта прямая пересечет сторону
MM`` в ее середине S. Теперь произвольно возьмем на плоскости (пространст-
ве) еще какую-нибудь точку N отличную от точки M. Аналогичным образом
построим треугольник NN`N``. Нетрудно убедиться в том, что отрезки NN`` и
ММ`` симметричны относительно точки S. Итак, мы показали что отрезок, со-
единяющий произвольную точку плоскости (пространства) с ее образом при
композиции параллельного переноса и центральной симметрии делится в точке
S пополам.

     Вопросы и задания для самопроверки

     1. Какое преобразование плоскости (пространства) называется централь-
ной симметрией?
      2. Доказать, что центральная симметрия является движением.