Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 66 стр.

                                                 66

e3′ = O′A3′ = {0,0,−1}. Нетрудно убедиться в том, что длины этих векторов равны 1, а
их попарные скалярные произведения равны нулю. Значит, точки O′, A1′, A2′ , A3′ ,
взятые в указанном порядке, образуют ортонормированный репер. Покажем
теперь, что при центральной симметрии любая точка М(x,y,z) относительно ре-
пера R переходит в точку M` с теми же координатами (x,y,z), но относительно
репера R`. Поскольку вектор O′M ′ имеет следующее разложение
O′M ′ = − xe1 − y e2 − z e3 по координатным векторам репера R, то, с учетом соотно-
шений e1′ = −e1 , e2′ = −e2 , e3′ = −e3 , получаем, что O′M ′ = xe1′ − y e2′ − z e3′ . А это значит,
что точка M` имеет относительно репера R` те же координаты, что и точка М
относительно репера R.

       8. Центральная симметрия сохраняет ориентацию плоскости (про-
странства).
      9. Центральная симметрия переводит угол в равный ему угол;
двугранный угол – в равный ему двугранный угол.
      10. Композиция двух центральных симметрий является параллельным
переносом
       Доказательство. Если центры симметрий совпадают, то, очевидно, что
композиция таких центральных симметрий является параллельным переносом
на нулевой вектор. Пусть теперь центры М1 и М2 симметрий не совпадают.
Возьмем произвольную точку М плоскости. Тогда под действием центральной
симметрии с центром в точке М1 перейдет в точку M`, которая под действием
центральной симметрии с центром в точке М2 перейдет в точку M`` (рис.5.1).
Рассмотрим треугольник МM`M``. В этом треугольнике отрезок М1М2 является
средней линией. А это значит, что вектор MM `` коллинеарен вектору M 1 M 2 и
в два раза больше его.

                                            N
                               M


                                                     M``          N``
                                М1

                                                M2

                        N`             M`

                                     Рис.5.1

      Аналогичным образом можно показать, что любая точка N плоскости,
отличная от точки М при центральных симметриях с центрами в точках M1 и