Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 68 стр.

                                         68

      3. Вывести формулы, задающие центральную симметрию с центром в
точке M0(x0, y0, z0) относительно прямоугольной декартовой системы координат
Охуz в пространстве.
      4. В какую фигуру переходит прямая (плоскость) при центральной сим-
метрии? Обоснуйте свой ответ.
      5. Что можно сказать о взаимном расположении прямой и ее образа при
центральной симметрии? Ответ обосновать.
      6. Что может служить образом середины отрезка при центральной сим-
метрии?
      7. Доказать, что при центральной симметрии сохраняется простое отно-
шение трех точек.
      8. В какую фигуру при центральной симметрии преобразуется отрезок;
луч; полуплоскость? Ответ обоснуйте.
      9. Что можно сказать об угле и его образе, двугранном угле и его образе
при центральной симметрии?
      10. Сколько инвариантных точек имеет центральная симметрия?
      11. Имеет ли центральная симметрия инвариантные прямые; инвариант-
ные плоскости?

      Решение примеров

     Пример 1. Найдите координаты прообраза точки М`(2, –3, 7) при цен-
тральной симметрии с центром в точке пересечения прямых, заданных относи-
тельно прямоугольной декартовой системы координат Oxyz уравнениями
                                                 ⎧x = 2
                      ⎧7 x + 9 y + 7 z + 1 = 0   ⎪
                      ⎨                        и ⎨ y = −4 + 7t
                      ⎩x − y − z − 3 = 0         ⎪ z = 3 + 4t.
                                                 ⎩
      Решение. Найдем координаты точки пересечения данных прямых. Для
этого составим и решим систему уравнений:
                                 ⎧ x − y − z− 3 = 0
                                 ⎪х = 2
                                 ⎪
                                 ⎨
                                 ⎪ y = −4 + 7t
                                 ⎪⎩ z = 3 + 4t ,
составленную из какого-нибудь одного уравнения первой прямой, например
второго, и параметрических уравнений второй прямой. В первое уравнение
этой системы подставим вместо x, y, z их выражения через параметр t. В ре-
зультате получим уравнение 2 − (−4 + 7t ) − (3 + 4t ) − 3 = 0 с одной неизвестной t.
Решив это уравнение, находим, что t = 0 . Подставив полученное значение t в
параметрические уравнения второй прямой, найдем координаты точки А(2, –4,
3) пересечения данных прямых. Точка А является центром симметрии, значит,