Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

70
А
1
С
1
четырехугольника АСА
1
С
1
в точке их пересечения делятся пополам. Зна-
чит АСА
1
С
1
– параллелограмм.
Пример 4. Доказать, что если ABCD и АВ
1
СD
1
– параллелограммы, имею-
щие общую диагональ АС, причем точки В, В
1
, D, D
1
не лежат на одной прямой,
то четырехугольник ВВ
1
DD
1
– параллелограмм (Рис.5.4).
Решение. Обозначим через О точку пересечения диагоналей АС и BD
параллелограмма ABCD.
B
1
B C
O
A D
D
1
Рис5.4
Поскольку параллелограмм AB
1
CD
1
имеет с параллелограммом ABCD
общую диагональ АС, то точка О является точкой пересечения и диагоналей АС
и B
1
D
1
параллелограмма AB
1
CD
1
. Рассмотрим центральную симметрию с цен-
тром в точке О. Так как при этой симметрии точки В и D, В
1
и D
1
переходят
друг в друга, то диагонали четырехугольника AB
1
CD
1
в точке их пересечения
делятся пополам. Следовательно, AB
1
CD
1
– параллелограмм.
Пример 5. Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма
ABCD проведены две прямые
m и n. Доказать, что точки пересечения этих пря-
мых со сторонами параллелограмма являются вершинами нового параллело-
грамма.
Решение. Обозначим точки пересечения прямой m со сторонами АВ и CD
через Р и Q, а точки пересечения прямой
n со сторонами ВС и AD через R и
S(Рис.5.5). Для того, чтобы доказать что четырехугольник PRQS параллело-
грамм, достаточно показать, что при центральной симметрии с центром в точке
О этот четырехугольник переходит в себя. Рассмотрим центральную симмет-
рию с центром в точке
О. При этой симметрии сторона АВ параллелограмма
ABCD перейдет в сторону DC, прямая m , как линия, проходящая через центр
симметрии, перейдет в себя. Тогда точка
mABP
∩
=
под действием центральной
симметрии с центром в точке О перейдет в точку
mDCQ
∩
=
. Аналогичным об-
разом можно показать, что при данной симметрии точка
R переходит в точку S
. 
                                      70

А1С1 четырехугольника АСА1С1 в точке их пересечения делятся пополам. Зна-
чит АСА1С1 – параллелограмм.

      Пример 4. Доказать, что если ABCD и АВ1СD1 – параллелограммы, имею-
щие общую диагональ АС, причем точки В, В1, D, D1 не лежат на одной прямой,
то четырехугольник ВВ1DD1 – параллелограмм (Рис.5.4).
      Решение. Обозначим через О точку пересечения диагоналей АС и BD
параллелограмма ABCD.
                                B1


                  B                                C

                                O

           A                               D


                                D1

                             Рис5.4

      Поскольку параллелограмм AB1CD1 имеет с параллелограммом ABCD
общую диагональ АС, то точка О является точкой пересечения и диагоналей АС
и B1D1 параллелограмма AB1CD1. Рассмотрим центральную симметрию с цен-
тром в точке О. Так как при этой симметрии точки В и D, В1 и D1 переходят
друг в друга, то диагонали четырехугольника AB1CD1 в точке их пересечения
делятся пополам. Следовательно, AB1CD1 – параллелограмм.

      Пример 5. Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма
ABCD проведены две прямые m и n. Доказать, что точки пересечения этих пря-
мых со сторонами параллелограмма являются вершинами нового параллело-
грамма.
      Решение. Обозначим точки пересечения прямой m со сторонами АВ и CD
через Р и Q, а точки пересечения прямой n со сторонами ВС и AD через R и
S(Рис.5.5). Для того, чтобы доказать что четырехугольник PRQS параллело-
грамм, достаточно показать, что при центральной симметрии с центром в точке
О этот четырехугольник переходит в себя. Рассмотрим центральную симмет-
рию с центром в точке О. При этой симметрии сторона АВ параллелограмма
ABCD перейдет в сторону DC, прямая m , как линия, проходящая через центр
симметрии, перейдет в себя. Тогда точка P = AB ∩ m под действием центральной
симметрии с центром в точке О перейдет в точку Q = DC ∩ m . Аналогичным об-
разом можно показать, что при данной симметрии точка R переходит в точку S
.

Страницы