Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 71 стр.

                                                71



                                   B                  R           C

                           P
                                           O
                                                      m
                                           n                  Q
                   A                   S                  D

                                       Рис.5.5

      Значит, при симметрии с центром в точке О точки Р и Q, R и S переходят
друг в друга. Итак, мы показали, что диагонали четырехугольника PQRS в точ-
ке их пересечения делятся пополам. Следовательно, PQRS – параллелограмм.

     Пример 6. В параллелограмме ABCD точка О является точкой пересече-
ния его диагоналей. Докажите, что четырехугольник, образованный точками
пересечения медиан треугольников АОВ, ВОС, СОD, DOА, есть параллело-
грамм.
     Решение. Поскольку в параллелограмме ABCD диагонали в точке O их
пересечения делятся пополам, значит, треугольники АОВ и DOC, а также тре-
угольники ВОС и AОD равны(Рис.5.6).

                           В                                      С
                                               О2
                               L                      M

                      O1               O             O3
                     K                     P

          A                                    D
                       Рис.5.6

      Рассмотрим центральную симметрию с центром в точке О. Заметим, что
эта симметрия переводит точку А в точку С, точку В в точку D и наоборот.
Так как центральная симметрия сохраняет простое отношение трех точек, то
середина L отрезка ВО переходит в середину Р отрезка OD, середина М отрез-
ка ОС переходит в середину К отрезка АО. Отсюда следует, что точка О2 пере-
сечения прямых ВМ и CL переходит в точку О4 пересечения прямых АР и DK, а
точка О1 пересечения прямых AL и ВК переходит в точку О3 пересечения пря-
мых СР и DM. Следовательно, в четырехугольнике О1О2О3О4 диагонали в точке
О их пересечения делятся пополам. Итак, четырехугольник О1О2О3О4, образо-
ванный точками пересечения медиан треугольников АОВ, ВОС, СОD, AOD,
является параллелограммом.