Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

72
Пример 7.
Окружность с центром в точке О пересечения медиан правиль-
ного треугольника АВС пересекает его стороны ВС, АВ, СA в точках А
1
и А
2
, С
1
и С
2
, В
1
и В
2
таких, что АС
1
=С
1
С
2
=С
2
В= ВА
1
=А
1
А
2
=А
2
С= АВ
2
=В
2
В
1
=В
1
С. Дока-
зать, что если перпендикуляры к сторонам треугольника, проведенные через
точки А
1
, В
1
, С
1
не проходят через одну точку, то и перпендикуляры к сторо-
нам, проведенные через точки А
2
, В
2
, С
2
, тоже не проходят через одну точ-
ку(Рис.5.7).
Решение. Поскольку при центральной симметрии угол переходит в рав-
ный ему угол, значит, взаимно перпендикулярные прямые при центральной
симметрии переходят во взаимно перпендикулярные прямые. Этот факт и по-
ложим в основу решения данной задачи. Рассмотрим центральную симметрию с
центром в точке О – центре данной окружности.
В
С
2
А
1
С
1
О
А
2
А
В
2
В
1
С
Рис.5.7
Так как АС
1
=С
1
С
2
=С
2
В= ВА
1
=А
1
А
2
=А
2
С= АВ
2
=В
2
В
1
=В
1
С, то шестиуголь-
ник С
1
С
2
А
1
А
2
В
1
В
2
является правильным. Значит. При центральной симметрии с
центром в точке О прямая С
1
В
1
, перпендикулярная прямой АВ в точке С
1
, пе-
рейдет в прямую С
2
А
2
, перпендикулярную той же самой стороне, но в точке С
2
;
прямая В
1
А
1
перпендикулярная прямой АС
в точке В
1
, перейдет в прямую, пер-
пендикулярную той же самой прямой АС, но в точке В
2
; прямая А
1
С
1
, перпен-
дикулярная прямой ВС в точке А
1
, перейдет в прямую, перпендикулярную той
же самой прямой ВС, но в точке А
2
. Если прямые, перпендикулярные сторонам
АВ, АС, ВС
в точках А
1
, В
1
, С
1
, не пересекаются в одной точке, то и их образы 
                                       72



      Пример 7. Окружность с центром в точке О пересечения медиан правиль-
ного треугольника АВС пересекает его стороны ВС, АВ, СA в точках А1 и А2, С1
и С2, В1 и В2 таких, что АС1=С1С2=С2В= ВА1=А1А2=А2С= АВ2=В2В1=В1С. Дока-
зать, что если перпендикуляры к сторонам треугольника, проведенные через
точки А1, В1, С1 не проходят через одну точку, то и перпендикуляры к сторо-
нам, проведенные через точки А2, В2, С2, тоже не проходят через одну точ-
ку(Рис.5.7).
      Решение. Поскольку при центральной симметрии угол переходит в рав-
ный ему угол, значит, взаимно перпендикулярные прямые при центральной
симметрии переходят во взаимно перпендикулярные прямые. Этот факт и по-
ложим в основу решения данной задачи. Рассмотрим центральную симметрию с
центром в точке О – центре данной окружности.


                                       В



                            С2
                                            А1



                  С1               О
                                                 А2

             А

                       В2              В1
                                                      С


                                  Рис.5.7
     Так как АС1=С1С2=С2В= ВА1=А1А2=А2С= АВ2=В2В1=В1С, то шестиуголь-
ник С1С2А1А2В1В2 является правильным. Значит. При центральной симметрии с
центром в точке О прямая С1В1, перпендикулярная прямой АВ в точке С1, пе-
рейдет в прямую С2А2, перпендикулярную той же самой стороне, но в точке С2;
прямая В1А1 перпендикулярная прямой АС в точке В1, перейдет в прямую, пер-
пендикулярную той же самой прямой АС, но в точке В2; прямая А1С1, перпен-
дикулярная прямой ВС в точке А1, перейдет в прямую, перпендикулярную той
же самой прямой ВС, но в точке А2. Если прямые, перпендикулярные сторонам
АВ, АС, ВС в точках А1, В1, С1, не пересекаются в одной точке, то и их образы

Страницы