Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

73
при центральной симметрии с центром в точке О тоже не пересекаются в одной
точке.
Пример 8.
Двое игроков поочередно выкладывают на стол, имеющий
форму прямоугольника, пятикопеечные монеты. Монету разрешается класть
только на свободное место. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной
ход. При какой стратегии первого игрока он всегда может выиграть?
Решение. Стол имеет форму прямоугольника. Как известно, прямоуголь-
ник имеет один центр симметрии – это точка пересечения его диагоналей. Каж-
дая точка прямоугольника принадлежит ему вместе со своим образом при цен-
тральной симметрии с центром в точке пересечения диагоналей. Этот факт и
можно положить в основу решения данной задачи. Стратегия игры первого
иг-
рока будет выигрышной, если он положит первый пятак в центр стола, а ос-
тальные будет класть симметрично пятакам второго игрока относительно цен-
тра стола.
Пример 9. Докажите, что четырехугольник, образованный точками, сим-
метричными какой-нибудь точке М относительно середин сторон параллело-
грамма ABCD, также является параллелограммом.
Решение. Параллелограмм ABCD имеет центр симметрии – точку О пе-
ресечения его диагоналей. Рассмотрим центральную симметрию с центром в
точке О. При этой симметрии середина Р стороны АВ перейдет в середину R
стороны CD и наоборот, середина Q стороны ВС перейдет в середину S сторо-
ны DA и наоборот. А это значит, что точка О есть центр симметрии
четырех-
угольника PQRS. Таким образом, мы показали, что четырехугольник PQRS –
параллелограмм. Теперь внутри этого параллелограмма возьмем произвольную
точку М. Обозначим через М`, M``, M```, M```` точки, симметричные точке М
относительно точек P, Q, R, S, соответственно (рис. 5.7).
M``
B Q C
M
R
P O M```
M`
A S D
M````
Рис. 5.7 
                                      73

при центральной симметрии с центром в точке О тоже не пересекаются в одной
точке.

      Пример 8. Двое игроков поочередно выкладывают на стол, имеющий
форму прямоугольника, пятикопеечные монеты. Монету разрешается класть
только на свободное место. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной
ход. При какой стратегии первого игрока он всегда может выиграть?
      Решение. Стол имеет форму прямоугольника. Как известно, прямоуголь-
ник имеет один центр симметрии – это точка пересечения его диагоналей. Каж-
дая точка прямоугольника принадлежит ему вместе со своим образом при цен-
тральной симметрии с центром в точке пересечения диагоналей. Этот факт и
можно положить в основу решения данной задачи. Стратегия игры первого иг-
рока будет выигрышной, если он положит первый пятак в центр стола, а ос-
тальные будет класть симметрично пятакам второго игрока относительно цен-
тра стола.

      Пример 9. Докажите, что четырехугольник, образованный точками, сим-
метричными какой-нибудь точке М относительно середин сторон параллело-
грамма ABCD, также является параллелограммом.
      Решение. Параллелограмм ABCD имеет центр симметрии – точку О пе-
ресечения его диагоналей. Рассмотрим центральную симметрию с центром в
точке О. При этой симметрии середина Р стороны АВ перейдет в середину R
стороны CD и наоборот, середина Q стороны ВС перейдет в середину S сторо-
ны DA и наоборот. А это значит, что точка О есть центр симметрии четырех-
угольника PQRS. Таким образом, мы показали, что четырехугольник PQRS –
параллелограмм. Теперь внутри этого параллелограмма возьмем произвольную
точку М. Обозначим через М`, M``, M```, M```` точки, симметричные точке М
относительно точек P, Q, R, S, соответственно (рис. 5.7).

                                            M``

                             B               Q          C
                                            M
                                                   R
                        P              O                    M```
           M`
                    A             S         D



                         M````
                                 Рис. 5.7

Страницы