Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 75 стр.

                                      75

     12. Через точку А(2, –5, 3) проведена прямая, параллельная прямой
                            ⎧2 x − y + 3 z − 1 = 0
                            ⎨
                            ⎩5 x + 4 y − z − 7 = 0.
      Найти уравнение образа этой прямой при центральной симметрии с цен-
тром в точке М(0, 1, –1). (Система координат прямоугольная декартова).
      13. Даны вершины треугольника АВС: А(4, 1, –2), В(2, 0, 0),
С(–2, 3, –5). Найти уравнение образа стороны АВ при центральной симметрии с
центром в точке пересечения серединных перпендикуляров.
      14. Доказать, что если два равных отрезка параллельны, то существует
точка О, относительно которой они симметричны.
      15. Доказать, что прямые, проведенные через середины сторон вписанно-
го в окружность четырехугольника перпендикулярно противоположным сторо-
нам, пересекаются в одной точке.
      16. Бивис и Батхед поочередно выкладывают на круглый стол пятаки.
Монету разрешается класть только на свободное место. Проигрывает тот, кто
не может сделать очередной ход. При какой стратегии игры первый игрок все-
гда может выиграть?
      17. Дан параллелограмм ABCD и точка М. Через точки A, B, C и D прове-
дены прямые, параллельные прямым МС, МD, МА и МВ, соответственно. До-
казать, что они пересекаются в одной точке.
      18. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей параллело-
грамма ABCD, отсекает на его сторонах отрезки ВЕ и DF. Докажите, что эти
отрезки равны.
      19. Доказать, что в параллелограмме ABCD вершины А и С находятся на
одинаковом расстоянии от прямой BD.
      20. Отрезок AD разбит точками В и С на три равные части. Доказать, что
для любой точки М на плоскости АМ + DM ≥ BM + CM. (Указание. Сначала
применить центральную симметрию с центром в точке В. При этом точка М пе-
рейдет в точку M`. Из треугольника MCM` с учетом того, что CM`=MA, полу-
чаем, что MA + MC ≥ 2MB. Далее использовать центральную симметрию с цен-
тром в точке С. Аналогичными рассуждениями из треугольника MDM`` можно
получить неравенство MB + MD ≥ 2MC).
      21. Отрезок AD точками А1, А2, …, Аn разбит на n+1 равных отрезков.
Доказать, что для любой точки М имеет место неравенство МА + МD ≥ МА1 +
МAn.(Указание. Использовать предыдущую задачу)
      22. Точки А, В, С, D, расположенные в указанном порядке, лежат на од-
ной прямой, причем АВ = CD. Доказать, что для любой точки М на плоскости
АМ + DM ≥ BM + CM.
      23. В треугольнике АВС проведены медианы АК и СЕ. Доказать, что если
∠САК = ∠АСЕ = 30°, то треугольник АВС – равносторонний.
      24. В треугольнике АВС проведены медианы АК и СЕ. Доказать, что если
∠ВАК = ∠ВСЕ = 30°, то треугольник АВС – равносторонний.