Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 77 стр.

                                       77

водит в точку M` такую, что отрезок MM` пересекает плоскость π под прямым
углом и в точке их пересечения делится пополам.
      Обычно для обозначения симметрии пространства относительно плоско-
сти π используют символ S π .
      Рассуждениями, аналогичными тем, что мы проводили в случае осевой
симметрии плоскости, можно показать, что симметрия пространства относи-
тельно плоскости тоже сохраняет расстояние между точками, т.е. является дви-
жением.
      В пространстве зададим ПДСК Охуz и рассмотрим симметрию S π отно-
сительно плоскости π, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0 . Найдем
формулы, определяющие симметрию S π относительно ПДСК Охуz. Для этого в
пространстве произвольно возьмем точку M ( x, y, z ) . Под действием симмет-
рии S π эта точка перейдет в некоторую точку M`( x`, y`, z `) . Выразим коорди-
наты точки M` через координаты точки М. Прежде всего воспользуемся тем,
что векторы MM`( x`− x, y`− y, z `− z ) и n(A, B, C) коллинеарны. Используя не-
обходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов, получим сис-
тему уравнений, связывающую координаты точек M и M`:
                                  ⎧ x` = x + λ A
                                  ⎪
                                  ⎨ y ` = y + λB                          (6.1)
                                  ⎪ z ` = z + λC.
                                  ⎩
      Для определения коэффициента λ коллинеарности векторов MM` и n
воспользуемся тем, что середина M0 отрезка ММ` принадлежит плоскости π
симметрии S π . Выразим координаты ( x0 , y0 , z0 ) точки M0 через координаты
точек М и M`, затем, используя соотношения (6.1), после несложных преобра-
зований получим, что
                                  ⎧            λA
                                  ⎪  x 0 = x +
                                                2
                                  ⎪
                                  ⎪            λB
                                  ⎨ y0 = y +                              (6.2)
                                  ⎪             2
                                  ⎪            λC
                                  ⎪⎩ z 0 = z +    .
                                                2
      Поскольку точка M0 принадлежит плоскости π, значит, ее координаты
удовлетворяют уравнению этой плоскости. Следовательно, получим уравнение
для определения коэффициента λ:
                                      λ 2
                 Ax + By + Cz + D +     (A + B2 + C 2 ) = 0,
                                      2
из которого находим, что