Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 76 стр.

                                     76

      25. Доказать, что если произвольную окружность отразить симметрично
относительно вершин треугольника АВС, а затем еще раз отразить симметрич-
но относительно этих же вершин, то точка она останется на прежнем месте.
      26. Доказать, что если произвольный треугольник отразить симметрично
относительно вершин правильного шестиугольника АВСDEF, а затем еще раз
отразить симметрично относительно этих же вершин, то он останется на преж-
нем месте.
      27. В выпуклом четырехугольнике ABCD точка Р – середина стороны АВ.
Доказать, что если площадь треугольника PCD равна половине площади четы-
рехугольника ABCD, то ВС ⎜⎜AD.
      28. Доказать, что если выпуклый многоугольник можно разрезать на па-
раллелограммы, то этот многоугольник имеет центр симметрии.
      29. В выпуклом многоугольнике для каждой стороны имеется равная и
параллельная ей сторона. Доказать, что этот многоугольник имеет ось симмет-
рии.
      30. На сторонах параллелограмма ABCD, вне его, построены равносто-
ронние треугольники АВМ, BCN, CDP, ADQ. Доказать, что четырехугольник
МNPQ – параллелограмм.
      31. Две равные окружности касаются в точке М. Прямая, проходящая че-
рез точку М, пересекают одну из этих окружностей в точке А, а другую – в точ-
ке В. Доказать, что отрезки МА и МВ равны.
      32. Через точку пересечения двух равных окружностей проведены три
прямые, пересекающие одну из окружностей в точках А, В, С, а вторую – в точ-
ках A`, B`, C`. Доказать, что треугольники АВС и A`B`C` равны. Что можно
сказать о взаимном расположении соответственно равных сторон этих тре-
угольников?
      33. Два правильных тетраэдра таковы, что один из них – образ другого
при симметрии относительно середины высоты первого. Какой многогранник
служит пересечением этих тетраэдров?
      34. Дан правильный тетраэдр с ребром длины, равной 1. Изобразите тет-
раэдр, симметричный данному относительно середины его высоты. Вычислите
объемы многогранников, являющихся пересечением и объединением данного и
полученного тетраэдров.
      35. Две правильные треугольные пирамиды таковы, что одна из них по-
лучена из другой симметрией относительно середины высоты. Вычислить объ-
ем общей части этих пирамид, если сторона основания пирамиды равна a, а
высота в два раза больше ее.


     §6 СИММЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВА ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКО-
        СТИ

     Определение 1. Симметрией пространства относительно плоскости π
называется отображение пространства на себя, которое каждую точку М пере-