Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 78 стр.

                                     78

                              2 (Ax + By + Cz + D)
                        λ=−                          .
                                   A 2 + B2 + C 2
     С учетом полученного выражения коэффициента λ через координаты точ-
ки M и коэффициенты уравнения плоскости π находим, что формулы, опреде-
ляющие симметрию S π относительно плоскости π, заданной уравнением
Ax + By + Cz + D = 0 , имеют вид
                               2A(Ax + By + Cz + D)
                      x` = x −                       ,
                                  A 2 + B2 + C 2
                               2B(Ax + By + Cz + D)
                      y` = y −                       ,                  (6.3)
                                   A 2 + B2 + C 2
                               2C(Ax + By + Cz + D)
                      z` = z −                      .
                                  A 2 + B2 + C 2

     Свойства симметрии пространства относительно плоскости

     1. Симметрия пространства относительно плоскости переводит плос-
кость в плоскость, причем параллельные плоскости – в параллельные.
      2. Симметрия пространства относительно плоскости переводит пря-
мую в прямую, причем параллельные прямые – в параллельные.
      3. Симметрия пространства относительно плоскости оставляет инва-
риантными плоскости, перпендикулярные плоскости симметрии, и прямые
также перпендикулярные плоскости симметрии.
      4. Симметрия пространства относительно плоскости сохраняет про-
стое отношение трех точек.
      5. Симметрия пространства относительно плоскости переводит отре-
зок в равный ему отрезок, луч – в луч, полуплоскость – в полуплоскость, полу-
пространство – в полупространство.
      6. Симметрия пространства относительно плоскости переводит угол в
равный ему угол, двугранный угол – в равный ему двугранный угол.
      7. Симметрия пространства относительно плоскости переводит орто-
нормированный репер R в ортонормированный репер R`. При этом точка M с
координатами (x,y,z) относительно репера R переходит в точку M` с теми же
координатами что и точка, но только относительно репера R`.
      8. Симметрия пространства относительно плоскости меняет ориента-
цию пространства.
      9. Для любой плоскости π справедливо равенство S π o S π = id .
      10. Композиция двух симметрий пространства относительно парал-
лельных плоскостей является параллельным переносом на вектор перпендику-
лярный этим и плоскостям и имеющим длину в два раза большую расстояния
между плоскостями.