Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

79
11. Для параллельных плоскостей
α
и
β
всегда можно найти такой век-
тор
a , что
1−
==
aa
TSSTS oo
ββα
.
12. Для симметрии S
α
пространства относительно плоскости
α
и па-
раллельного переноса
a
T на вектор a всегда можно найти такой вектор b ,
что
αα
STTS
ba
oo = .
Вопросы и задания для самопроверки
1.
Какое преобразование пространства называется симметрией отно-
сительно плоскости?
2.
Доказать, что симметрия относительно плоскости является движе-
нием.
3.
Вывести формулы, задающие симметрию пространства относи-
тельно плоскости, заданной в прямоугольной декартовой системы координат
Охуz уравнением
0
=
++
+
DCzByAx
.
4.
В какую фигуру переходит прямая (плоскость) при симметрии про-
странства относительно плоскости? Обоснуйте свой ответ.
5.
Что можно сказать о взаимном расположении прямой и ее образа
при симметрии пространства относительно плоскости? Ответ обосновать.
6.
Что может служить образом середины отрезка при симметрии про-
странства относительно плоскости?
7.
Доказать, что при симметрии пространства относительно плоскости
сохраняется простое отношение трех точек.
8.
В какую фигуру при симметрии пространства относительно плос-
кости преобразуется отрезок; луч; полуплоскость? Ответ обоснуйте.
9.
Что можно сказать об угле и его образе, двугранном угле и его об-
разе при симметрии пространства относительно плоскости?
10.
Имеет ли симметрия пространства относительно плоскости инвари-
антные прямые; инвариантные плоскости?
Решение примеров
Пример 1. В пространстве дана правильная шестиугольная пирамида
SABCDEF и ПДСК
Охуz, началом которой служит центр О правильного шести-
угольника, а за оси координат приняты направленные прямые ОА, ОN, ОS, поло-
жительные направления которых определяются векторами
OS ,ON ,OA ↑↑↑↑= kji
. Найти формулы симметрии пространства относи-
тельно плоскости, проходящей через точки S, F, С (рис. 6.1). 
                                            79

       11. Для параллельных плоскостей α и β всегда можно найти такой век-
тор a , что Sα = Ta o S β = S β o Ta −1 .
       12. Для симметрии Sα пространства относительно плоскости α и па-
раллельного переноса Ta на вектор a всегда можно найти такой вектор b ,
что S α oTa = Tb o Sα .


       Вопросы и задания для самопроверки

      1.    Какое преобразование пространства называется симметрией отно-
сительно плоскости?
      2.    Доказать, что симметрия относительно плоскости является движе-
нием.
      3.    Вывести формулы, задающие симметрию пространства относи-
тельно плоскости, заданной в прямоугольной декартовой системы координат
Охуz уравнением Ax + By + Cz + D = 0 .
      4.    В какую фигуру переходит прямая (плоскость) при симметрии про-
странства относительно плоскости? Обоснуйте свой ответ.
      5.    Что можно сказать о взаимном расположении прямой и ее образа
при симметрии пространства относительно плоскости? Ответ обосновать.
      6.    Что может служить образом середины отрезка при симметрии про-
странства относительно плоскости?
      7.    Доказать, что при симметрии пространства относительно плоскости
сохраняется простое отношение трех точек.
      8.    В какую фигуру при симметрии пространства относительно плос-
кости преобразуется отрезок; луч; полуплоскость? Ответ обоснуйте.
      9.    Что можно сказать об угле и его образе, двугранном угле и его об-
разе при симметрии пространства относительно плоскости?
      10. Имеет ли симметрия пространства относительно плоскости инвари-
антные прямые; инвариантные плоскости?


       Решение примеров

      Пример 1. В пространстве дана правильная шестиугольная пирамида
SABCDEF и ПДСК Охуz, началом которой служит центр О правильного шести-
угольника, а за оси координат приняты направленные прямые ОА, ОN, ОS, поло-
жительные         направления      которых      определяются     векторами
i = OA, j ↑↑ ON, k ↑↑ OS . Найти формулы симметрии пространства относи-
тельно плоскости, проходящей через точки S, F, С (рис. 6.1).

Страницы