Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

69
она делит пополам отрезок MM`. Координаты точки M` нам известны. Исполь-
зуя формулы центральной симметрии, находим, что ее прообраз М относитель-
но прямоугольной декартовой системы координат
Оxyz имеет следующие коор-
динаты: M(2, –5, –1).
Пример 2. Доказать, что если произвольную точку М плоскости отразить
симметрично относительно вершин параллелограмма АВСD, а затем еще раз
отразить симметрично относительно этих же вершин, то точка М вернется на
прежнее место.
Решение. Прежде всего, отметим, что композиция двух центральных
симметрий
D
S и
C
S
с центрами в точках D и C есть параллельный перенос
CD2
T
на вектор
CD2 , т.е.
D
S
o
C
S
=
CD2
T , композиция центральных симметрий
C
S и
B
S с центрами в точках С и В есть параллельный перенос
BС2
T
на вектор ВС2 ,
композиция центральных симметрий
B
S и
A
S
с центрами в точках В и А есть
параллельный перенос
AB2
T на вектор АВ2 , т.е.
В
S
o
A
S
=
AB2
T , а компози-
ция центральных симметрий
A
S
и
D
S
с центрами в точках А и D есть параллель-
ный перенос
DA2
T
на вектор DА2 . Таким образом,
S
D
o
C
S o
B
S o
A
S
o S
D
o
C
S o
B
S o
A
S
=
)(4)СDABCD(2 ABCDAB
TT
++++
=
. Поскольку точки
А, В, С, D – вершины параллелограмма, то
0CDАВ =+
. Значит,
композиция
S
D
o
C
S o
B
S o
A
S
o S
D
o
C
S o
B
S o
A
S
центральных симметрий с цен-
трами в вершинах параллелограмма
ABCD является тождественным преобразова-
нием.
Пример 3. В параллелограмме ABCD проведены прямые АА
1
и СС
1
так,
что
∠DAA
1
= ∠C
1
CВ (A
1
∈CD, C
1
∈AB). Докажите, что четырехугольник
AА
1
СС
1
– параллелограмм (рис. 5.3).
В С
С
1
О А
1
А D
Рис. 5.3
Решение. Применим центральную симметрию с центром в точке О – точке
пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Под действием этой симмет-
рии сторона ВС перейдет в сторону DA; угол
∠ВСС
1
перейдет в угол ∠DAA
1
.
Следовательно, точка А
1
перейдет в точку С
1
. А это значит, что диагонали АС и 
                                           69

она делит пополам отрезок MM`. Координаты точки M` нам известны. Исполь-
зуя формулы центральной симметрии, находим, что ее прообраз М относитель-
но прямоугольной декартовой системы координат Оxyz имеет следующие коор-
динаты: M(2, –5, –1).

      Пример 2. Доказать, что если произвольную точку М плоскости отразить
симметрично относительно вершин параллелограмма АВСD, а затем еще раз
отразить симметрично относительно этих же вершин, то точка М вернется на
прежнее место.
      Решение. Прежде всего, отметим, что композиция двух центральных
симметрий S D и S C с центрами в точках D и C есть параллельный перенос T2CD
на вектор 2CD , т.е. S D o S C = T2CD , композиция центральных симметрий SC и
S B с центрами в точках С и В есть параллельный перенос T2 BС на вектор 2ВС ,
композиция центральных симметрий S B и S A с центрами в точках В и А есть
параллельный перенос T2 AB на вектор 2АВ , т.е. S В o S A = T2 AB ,         а компози-
ция центральных симметрий S A и SD с центрами в точках А и D есть параллель-
ный     перенос    T2DA     на     вектор     2DА .     Таким       образом,
SD o SC o S B o S A o SD o SC o S B o S A = T2(CD+AB+СD+AB) = T4(CD+AB) . Поскольку точки
А, В, С, D – вершины параллелограмма, то АВ + CD = 0 . Значит,
композиция SD o SC o S B o S A o SD o SC o S B o S A центральных симметрий с цен-
трами в вершинах параллелограмма ABCD является тождественным преобразова-
нием.

     Пример 3. В параллелограмме ABCD проведены прямые АА1 и СС1 так,
что ∠DAA1 = ∠C1CВ (A1∈CD, C1∈AB). Докажите, что четырехугольник
AА1СС1 – параллелограмм (рис. 5.3).

                                В                              С

                          С1
                                         О                А1

                    А                                D
                                        Рис. 5.3
      Решение. Применим центральную симметрию с центром в точке О – точке
пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Под действием этой симмет-
рии сторона ВС перейдет в сторону DA; угол ∠ВСС1 перейдет в угол ∠DAA1.
Следовательно, точка А1 перейдет в точку С1. А это значит, что диагонали АС и

Страницы