Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 46 стр.

                                                      46

                                 ⎧        x1′ + λx2′
                                 ⎪⎪ x′ = 1 + λ ,
                                  ⎨
                                  ⎪ y ′ = y1′ + λy 2′ .
                                  ⎪⎩         1+ λ
Для этого в формулах
                                 ⎧       x1 + λx2
                                 ⎪⎪  x =          ,
                                          1+ λ
                                  ⎨
                                  ⎪ y = y1 + λy 2 ,
                                  ⎪⎩       1+ λ
заменим x на x = x′ cos α + y′ sin α , x 1 на x1 = x1′ cosα + y1′ sin α , x 2 на
x2 = x2′ cosα + y ′2 sin α , y на − x′ sin α + y ′ cosα , y 1 на − x1′ sin α + y1′ cosα , y 2 на
− x2′ sin α + y 2′ cosα . В результате получим соотношения
                ⎧                          ( x1 + λx2 ) cosα ( y1 + λy 2 ) sin α
                ⎪⎪ x′ cosα + y ′ sin α =          1+ λ
                                                              +
                                                                       1+ λ
                                                                                   ,
                 ⎨
                 ⎪− x′ sin α + y ′ cosα = − ( x1 + λx2 ) sin α + ( y1 + λy 2 ) cosα .
                 ⎪⎩                               1+ λ                 1+ λ
Умножим первое - на cosα , а второе - на − sin α и сложим. В результате полу-
                         x′ + λx2′
чим равенство x′ = 1                . Теперь умножим обе части первого соотношения на
                           1+ λ
                                                                                      y ′ + λy 2′
sin α , а второго – на cosα и сложим. Получим равенство y ′ = 1                                   .
                                                                                        1+ λ
         Итак, мы показали, что точка M ′( x′, y ′) делит отрезок M 1′M 2′ в том же са-
мом отношении λ ≠ −1 , что и точка делит отрезок M 1 M 2 . А это значит, что по-
ворот плоскости вокруг точки на заданный угол сохраняет простое отношение
трех точек.
      4. При повороте плоскости вокруг данной точки на заданный направлен-
ный угол отрезок переходит в равный ему отрезок, луч – в луч, полуплоскость –
в полуплоскость.
      5. При повороте плоскости вокруг данной точки на заданный направлен-
ный угол ортонормированный репер R переходит в ортонормированный R`.
При этом точка М с координатами х и у относительно репера R переходит в
точку М` с теми же самыми координатами х и у, но относительно репера R`.
      6. Композиция двух поворотов вокруг точки О есть поворот с центром в
точке О.
      7. Композиция двух поворотов RBβ o R Aα плоскости есть поворот RCγ на
направленный угол γ = α + β с центром в точке С такой, что
            α         β
∠BAC =        , ∠ABC = .
            2         2
       8. Композиция двух осевых симметрий плоскости с непараллельными
осями m1 и m2, пересекающимися в точке О и образующими направленный угол
α, есть поворот плоскости вокруг точки О.
      9. Всякий поворот плоскости вокруг точки О можно представить в виде
композиции двух осевых симметрий, осью одной из них будет служить прямая