Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

38
OD = ОЕ = АВ и двум равным углам, прилежащим к этой стороне. А именно:
∠ODB` = ∠OEB` = 75° – 60° = 15°, ∠DOB` =
= ∠B`ОE = 15° (т.к. OB` – биссектриса угла DOE при вершине равнобедренного
треугольника ODE). Таким образом, треугольники OB`D и OB`E равны между
собой и равны треугольникам ABD и ВЕС.
Итак, мы показали, что площадь пятиугольника АВСED равна площади
треугольника ODE, который составляет двенадцатую
часть вписанного в квад-
рат двенадцатиугольника. А это значит, что площадь вырезанного правильного
двенадцатиугольника, вписанного в квадрат, в три раза больше площади остав-
шейся фигуры.
Пример 7. Доказать, что две трапеции равны, если равны их соответст-
венные стороны.
Доказательство. На плоскости зададим две трапеции А
1
В
1
С
1
D
1
и
А
2
В
2
С
2
D
2
с основаниями А
1
В
1
и С
1
D
1
, А
2
В
2
и С
2
D
2
. Пусть А
1
В
1
= А
2
В
2
, В
1
С
1
=В
2
С
2
, С
1
D
1
=С
2
D
2
, А
1
D
1
= А
2
D
2
. Для того чтобы доказать, что А
1
В
1
С
1
D
1
=
А
2
В
2
С
2
D
2
покажем, что существует движение плоскости, которое переводит од-
ну из этих трапеций в другую. Рассмотрим параллельный перенос, определяе-
мый вектором
21
AA . При этом переносе трапеция А
1
В
1
С
1
D
1
перейдет в равную
трапецию А
2
В
1
`С
1
`D
1
`. Возможно два случая расположения трапеции
А
2
В
1
`С
1
`D
1
` относительно трапеции А
2
В
2
С
2
D
2
. Первый, когда они лежат в одной
полуплоскости, определяемой прямой А
2
В
2
; второй, когда они не лежат в од-
ной полуплоскости с границей А
2
В
2
. Один способ решения задачи мы изучили
при выполнении примера 9 в теме “Поворот плоскости”. Остановимся подроб-
нее на втором случае. Обозначим через
α
угол между прямыми А
1
В
1
и А
2
В
2
.
Заметим, что угол между прямыми, содержащими меньшие основания трапеции
тоже равен
α
. Рассмотрим поворот плоскости вокруг точки А
2
на угол
α
(Рис.3.9) против часовой стрелки. При этом отрезок А
2
В
1
` перейдет в отрезок
А
2
В
2
;
прямая
С
1
`D
1
` в прямую, параллельную прямой С
2
D
2
.
D
2
C
2
A
2
α
B
2
A
1
D
1
`
D
1
C
1
` B
1
`
C
1
B
1 
                                     38

OD = ОЕ = АВ и двум равным углам, прилежащим к этой стороне. А именно:
∠ODB`      =    ∠OEB`      =     75°    –   60°    =    15°,   ∠DOB`      =
= ∠B`ОE = 15° (т.к. OB` – биссектриса угла DOE при вершине равнобедренного
треугольника ODE). Таким образом, треугольники OB`D и OB`E равны между
собой и равны треугольникам ABD и ВЕС.
      Итак, мы показали, что площадь пятиугольника АВСED равна площади
треугольника ODE, который составляет двенадцатую часть вписанного в квад-
рат двенадцатиугольника. А это значит, что площадь вырезанного правильного
двенадцатиугольника, вписанного в квадрат, в три раза больше площади остав-
шейся фигуры.

      Пример 7. Доказать, что две трапеции равны, если равны их соответст-
венные стороны.
      Доказательство. На плоскости зададим две трапеции А1В1С1D1          и
А2В2С2D2 с основаниями А1В1 и С1D1 , А2В2 и С2D2. Пусть А1В1 = А2В2 , В1С1
=В2С2 , С1D1 =С2D2 , А1D1 = А2D2. Для того чтобы доказать, что А1В1С1D1 =
А2В2С2D2 покажем, что существует движение плоскости, которое переводит од-
ну из этих трапеций в другую. Рассмотрим параллельный перенос, определяе-
мый вектором A1 A2 . При этом переносе трапеция А1В1С1D1 перейдет в равную
трапецию      А2В1`С1`D1`. Возможно два случая расположения трапеции
А2В1`С1`D1` относительно трапеции А2В2С2D2. Первый, когда они лежат в одной
полуплоскости, определяемой прямой А2В2 ; второй, когда они не лежат в од-
ной полуплоскости с границей А2В2 . Один способ решения задачи мы изучили
при выполнении примера 9 в теме “Поворот плоскости”. Остановимся подроб-
нее на втором случае. Обозначим через α угол между прямыми А1В1 и А2В2.
Заметим, что угол между прямыми, содержащими меньшие основания трапеции
тоже равен α . Рассмотрим поворот плоскости вокруг точки А2 на угол α
(Рис.3.9) против часовой стрелки. При этом отрезок А2В1` перейдет в отрезок
А2В2 ; прямая С1`D1` в прямую, параллельную прямой С2D2 .


                                                   D2         C2




                                    A2         α               B2
           A1
                              D1`
D1


                                         C1`            B1`
      C1            B1

Страницы