Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

35
=∠FDC. А это значит, что в четырехугольнике EDAF диагонали не только вза-
имно перпендикулярны, но и делят пополам углы при вершинах. Отсюда следу-
ет, что четырехугольник EDAF – ромб.
Пример 3. Диагонали трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересека-
ются в точке О; точки B` и C` симметричны вершинам В и С относительно бис-
сектрисы угла
ВОС. Доказать, что ∠CAC` = ∠BDB` (рис. 3.5).
Решение. Прежде всего отметим, что при осевой симметрии с осью ОК,
прямые АС и BD переходят друг в друга. Это позволяет свести доказательство
равенства углов CAC` и BDB` к следующему равенству: ∠C`AB` = ∠B`DC`.
Для доказательства равенства этих углов достаточно показать, что они опира-
ются на одну дугу
окружности, описанной около четырехугольника AC`B`D. А
для этого достаточно показать, что треугольник AOС` подобен треугольнику
DOB`. По свойству трапеции имеем: AO : OD = OC : ОB. Так как ВО = B`O, CO
= C`O, то АО : OD =
= C`O : B`O. По свойству вертикальных углов имеем ∠AOC`= ∠DOB`. Значит,
треугольники AOC` и DOB` подобны. Следовательно, около четырехугольника
AC`B`D можно описать окружность. Отсюда следует, что ∠B`AC` = ∠C`DB`,
что, в свою
очередь, эквивалентно равенству углов CAC` и BDB`.
K
C`
B С
B`
O
A D
Рис. 3.5
Пример 4. В треугольнике точка пересечения медиан и центр описанной
окружности симметричны относительно одной из сторон. Найдите медианы
треугольника, если радиус описанной окружности равен 6 см.
Решение. Пусть в треугольнике АВС точка G пересечения его медиан и
центр О описанной окружности симметричны
относительно стороны АВ. По-
скольку О центр описанной окружности, то ОА=ОВ=ОС=6 см. (Рис.3.6).
А 
                                      35

=∠FDC. А это значит, что в четырехугольнике EDAF диагонали не только вза-
имно перпендикулярны, но и делят пополам углы при вершинах. Отсюда следу-
ет, что четырехугольник EDAF – ромб.

       Пример 3. Диагонали трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересека-
ются в точке О; точки B` и C` симметричны вершинам В и С относительно бис-
сектрисы угла ВОС. Доказать, что ∠CAC` = ∠BDB` (рис. 3.5).
      Решение. Прежде всего отметим, что при осевой симметрии с осью ОК,
прямые АС и BD переходят друг в друга. Это позволяет свести доказательство
равенства углов CAC` и BDB` к следующему равенству: ∠C`AB` = ∠B`DC`.
Для доказательства равенства этих углов достаточно показать, что они опира-
ются на одну дугу окружности, описанной около четырехугольника AC`B`D. А
для этого достаточно показать, что треугольник AOС` подобен треугольнику
DOB`. По свойству трапеции имеем: AO : OD = OC : ОB. Так как ВО = B`O, CO
=           C`O,           то          АО          :         OD          =
= C`O : B`O. По свойству вертикальных углов имеем ∠AOC`= ∠DOB`. Значит,
треугольники AOC` и DOB` подобны. Следовательно, около четырехугольника
AC`B`D можно описать окружность. Отсюда следует, что ∠B`AC` = ∠C`DB`,
что, в свою очередь, эквивалентно равенству углов CAC` и BDB`.

                                  K
                       C`

                             B                   С
                                            B`
                                      O



                 A                                     D
                                 Рис. 3.5



      Пример 4. В треугольнике точка пересечения медиан и центр описанной
окружности симметричны относительно одной из сторон. Найдите медианы
треугольника, если радиус описанной окружности равен 6 см.
      Решение. Пусть в треугольнике АВС точка G пересечения его медиан и
центр О описанной окружности симметричны относительно стороны АВ. По-
скольку О центр описанной окружности, то ОА=ОВ=ОС=6 см. (Рис.3.6).

            А

Страницы