Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 83 стр.

                                     83

      16. В правильном четырехугольном диэдре SABCDE центр О квадрата
ABCD принят за начало ПДСК Охуz, направленная прямая OF, где F – середина
стороны АВ, принята за ось абсцисс (длина отрезка OF считается равной 1); на-
правленная прямая ОК – за ось ординат, а направленная прямая OS – за ось ап-
пликат. Составить формулы симметрии относительно плоскости АЕС и найти
уравнение прообраза плоскости, заданной относительно ПДСК Охуz уравнени-
ем 2х – у + z – 4 = 0.
      17. В правильном треугольном диэдре SABCD центр О правильного тре-
угольника АВС принят за начало ПДСК Охуz; направленная прямая ОА (длина
отрезка ОА считается равной 1) принята за ось абсцисс; направленная прямая
ОЕ, где Е – середина стороны АВ, – за ось ординат, а направленная прямая ОS –
за ось аппликат. Составить формулы симметрии относительно плоскости DAC
и найти координаты образа точки D(–1, –1, 1).
      18. Дан правильный тетраэдр с ребром длины m. Плоскость проходит че-
рез середину его высоты перпендикулярно к ней. Изобразите тетраэдр, симмет-
ричный данному тетраэдру, относительно этой плоскости. Изобразите пересе-
чение и объединение данного и полученного тетраэдров. Вычислить объемы
полученных многогранников.
      19. Постройте изображение куба и его образа при симметрии относитель-
но плоскости, проходящей через концы трех ребер, исходящих из одной вер-
шины куба. Какой многогранник является пересечением этих кубов.

      §7 СКОЛЬЗЯЩЕЕ ОТРАЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА

     Зададим в пространстве какую-нибудь плоскость π и ненулевой вектор а ,
параллельный плоскости π. Как известно, плоскость π определяет преобразова-
ние пространства – зеркальную симметрию, а ненулевой вектор а – параллель-
ный перенос. Рассмотрим композицию зеркальной симметрии, т.е. симметрии
пространства относительно плоскости π, и параллельного переноса на вектор а .
Полученное отображение пространства на себя является движением и называ-
ется скользящим отражением. Если вектор а нулевой, то скользящее отражение
совпадает с симметрией пространства относительно плоскости π.

      Свойства скользящего отражения

      1. Скользящее отражение сохраняет расстояния между любыми точка-
ми.
      2. Скользящее отражение сохраняет простое отношение трех точек.
      3. Скользящее отражение переводит плоскость в плоскость, причем па-
раллельные плоскости в параллельные; полупространство в полупространст-
во; прямую в прямую, причем параллельные прямые в параллельные; полуплос-
кость в полуплоскость, отрезок в отрезок, луч в луч.