Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

84
4. Скользящее отражение переводит линейный угол в равный ему линей-
ный угол.
5.
Скользящее отражение переводит двугранный угол в равный ему дву-
гранный угол
6.
Скользящее отражение переводит ортонормированный репер R в ор-
тонормированный репер R`. При этом точка М(x,y,z) относительно репера R
переходит в точку M` с теми же координатами (x,y,z), но относительно репе-
ра R`.
7. Скользящее отражение меняет ориентацию пространства.
8. Скользящее отражение пространства можно представить в виде
композиции трех зеркальных отражений.
При решении многих задач, связанных с применением скользящего отра-
жения пространства на себя, важное значение имеют формулы, задающие это
движение относительно прямоугольной декартовой системы координат.
В пространстве зададим ПДСК
kjiО или (что то же самое) ортонорми-
рованный репер
{}
321
, , , AAAOR
=
, в котором ,OA ,OA
21
ji
r
r
== k
r
=
3
OA .
Рассмотрим скользящее отражение, определяемое плоскостью
0DCBA :
=
+++π
z
y
x
и вектором ) , ,( cbaa , параллельным плоскости π.
Возьмем в пространстве произвольную точку М(
x, y, z) с текущими координа-
тами
x, y, z. При симметрии относительно плоскости π точка M перейдет в
некоторую точку M`(
x`, y`, z`) с координатами x`, y`, z` относительно
ортонормированного репера
{
}
321
, , , AAAOR
=
. Используя формулы,
задающие симметрию пространства относительно плоскости, выразим
координаты точки M` через координаты точки М. Получим соотношения:
.
CBA
)DCBA(C2
`
,
CBA
)DCBA(B2
`
,
CBA
)DCBA(A2
`
222
222
222
+
+
+++
−=
++
+++
−=
++
+
+
+
−=
zyx
zz
zyx
yy
zyx
xx
Поскольку при параллельном переносе на вектор
) , ,( cbaa точка M`(x`,
y`
, z`) перейдет в точку M``(x``, y``, z``), то
.```
, ` ``
,```
c
z
z
byy
a
x
x
+
=
+=
+
=
С учетом предыдущих соотношений получаем, что координаты образа
при скользящем отражении пространства выражаются через координаты его
прообраза при помощи следующих соотношений: 
                                       84

       4. Скользящее отражение переводит линейный угол в равный ему линей-
ный угол.
       5. Скользящее отражение переводит двугранный угол в равный ему дву-
гранный угол
       6. Скользящее отражение переводит ортонормированный репер R в ор-
тонормированный репер R`. При этом точка М(x,y,z) относительно репера R
переходит в точку M` с теми же координатами (x,y,z), но относительно репе-
ра R`.
       7. Скользящее отражение меняет ориентацию пространства.
       8. Скользящее отражение пространства можно представить в виде
композиции трех зеркальных отражений.

     При решении многих задач, связанных с применением скользящего отра-
жения пространства на себя, важное значение имеют формулы, задающие это
движение относительно прямоугольной декартовой системы координат.
       В пространстве зададим ПДСК Оi j k или (что то же самое) ортонорми-
                                                       r          r          r
рованный репер R = {O, A1 , A2 , A3 }, в котором OA1 = i , OA 2 = j , OA 3 = k .
Рассмотрим       скользящее    отражение,         определяемое   плоскостью
π : Ax + By + Cz + D = 0 и вектором a (a, b, c) , параллельным плоскости π.
Возьмем в пространстве произвольную точку М(x, y, z) с текущими координа-
тами x, y, z. При симметрии относительно плоскости π точка M перейдет в
некоторую точку M`(x`, y`, z`) с координатами x`, y`, z` относительно
ортонормированного репера       R = {O, A1 , A2 , A3 }. Используя формулы,
задающие симметрию пространства относительно плоскости, выразим
координаты точки M` через координаты точки М. Получим соотношения:
                                2A(Ax + By + Cz + D)
                       x` = x −                       ,
                                    A 2 + B2 + C 2
                                2B( Ax + By + Cz + D)
                       y` = y −                       ,
                                    A 2 + B2 + C 2
                                2C(Ax + By + Cz + D)
                       z` = z −                         .
                                     A 2 + B2 + C 2
        Поскольку при параллельном переносе на вектор a (a, b, c) точка M`(x`,
y`, z`) перейдет в точку M``(x``, y``, z``), то
                                  x`` = x` + a,
                                  y`` = y` + b,
                                  z `` = z ` + c.
     С учетом предыдущих соотношений получаем, что координаты образа
при скользящем отражении пространства выражаются через координаты его
прообраза при помощи следующих соотношений:

Страницы