Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

86
Решение. Поскольку плоскость проходит через три точки, то для состав-
ления ее уравнения будем использовать уравнение вида
.0
131313
121212
111
=
−−−
−−−
−−−
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
Подставляя в это уравнение вместо
111
, , zyx координаты точки О, вместо
222
, , zyx
координаты точки А, а вместо
333
, , zyx
координаты точки В, полу-
чим уравнение
0
0004 0 1
010203
00 0
=
−−−
−−−−
−
−
− zyx
или
0
0 4 1
1 23
=−
zyx
.
Раскрывая в левой части этого уравнения определитель и приводя по-
добные слагаемые, получаем уравнение плоскости (ОАВ)
0144 =−−
z
y
x
. Зная координаты точек А и В, находим координаты вектора
)1 ,6 ,2(АВ −− . По коэффициентам уравнения плоскости (ОАВ) и координатам
вектора
АВ составим формулы скользящей симметрии:
.1
)14()1(4
)0144(28
`
,6
)14()1(4
)0144(2
`
,2
)14()1(4
)0144(8
`
222
222
222
−
−+−+
+−−
+=
+
−+−+
+−−
+=
−
−+−+
+
−
−
−=
zyx
zz
zyx
yy
zyx
xx
Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получим, что форму-
лы, задающие скользящее отражение пространства относительно ПДСК
kjiО ,
имеют вид
.1
213
179
213
28
213
112
`
,6
213
28
213
211
213
8
`
,2
213
112
213
8
213
181
`
−−−=
+−+=
−++=
zyxz
zyxy
zyxx
                                              86

     Решение. Поскольку плоскость проходит через три точки, то для состав-
ления ее уравнения будем использовать уравнение вида
                         x − x1        y − y1          z − z1
                         x2 − x1       y2 − y1         z 2 − z1 = 0.
                         x3 − x1       y3 − y1
                                            z3 − z1
       Подставляя в это уравнение вместо x1 , y1 , z1 координаты точки О, вместо
x2 , y2 , z 2 координаты точки А, а вместо x3 , y3 , z3 координаты точки В, полу-
чим уравнение
                         x−0     y−0 z −0
                         3 − 0 − 2 − 0 1 − 0 = 0 или
                         1− 0    4−0 0−0
                                   x  y            z
                                   3 −2            1 = 0.
                                   1      4        0
      Раскрывая в левой части этого уравнения определитель и приводя по-
добные        слагаемые,      получаем     уравнение    плоскости     (ОАВ)
4 x − y − 14 z = 0 . Зная координаты точек А и В, находим координаты вектора
АВ(−2, 6, − 1) . По коэффициентам уравнения плоскости (ОАВ) и координатам
вектора АВ составим формулы скользящей симметрии:
                               8(4 x − y − 14 z + 0)
                       x` = x −                       − 2,
                               4 2 + (−1) 2 + (−14) 2
                                2(4 x − y − 14 z + 0)
                       y` = y + 2                      + 6,
                               4 + (−1) 2 + (−14) 2
                               28(4 x − y − 14 z + 0)
                       z` = z + 2                         − 1.
                                 4 + ( −1) 2 + ( −14) 2
     Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получим, что форму-
лы, задающие скользящее отражение пространства относительно ПДСК Оi j k ,
имеют вид
                              181     8     112
                         x` =     x+     y+     z − 2,
                              213    213    213
                               8     211     28
                         y` =     x+     y−     z + 6,
                              213    213    213
                              112    28     179
                         z` =     x−     y−     z − 1.
                              213    213    213

Страницы