Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

88
.3
)2()1(4
)924(4
``
,2
)2()1(4
)924(2
``
,2
)2()1(4
)924(8
``
222
222
222
+
−+−+
−−−
+=
+
−+−+
−−−
+=
+
−+−+
−
−
−
−=
zyx
zz
zyx
yy
zyx
xx
После элементарных преобразований в правой части получим формулы
скользящего отражения в виде
.
7
9
21
8
21
4
21
16
`
,
7
8
21
4
21
19
21
8
`
,
7
38
21
16
21
8
21
11
`
+−−=
+−+=
+++−=
zyxz
zyxy
zyxx
Для того, чтобы найти уравнение прообраза плоскости
012 =−−+ zy
x
, заменим в нем x на
7
38
21
16
21
8
21
11
+++− zyx , y – на
7
8
21
4
21
19
21
8
+−+ zyx , а z – на
7
9
21
8
21
4
21
16
+−− zyx . В результате получим
уравнение вида
.01
7
9
21
8
21
4
21
16
7
8
21
4
21
19
21
8
)
7
38
21
16
21
8
21
11
(2
=−−
−++−+−+++++− zyxzyxzyx
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получим уравнение
068121310
=
−−−
z
y
x
прообраза плоскости 012 =
−
−
+
z
y
x
при скользя-
щем отражении.
Упражнения и задачи для самостоятельного выполнения
1. Составить формулы скользящего отражения, определяемого вектором
)8 ,1 ,1( −а и плоскостью, проходящей через точку А(1, –2, 1) и перпендикуляр-
ной прямой АВ, если В(4, 3, 2). (Система координат – прямоугольная декарто-
ва).
2.
Найти прообраз точки Р(2, –1, 1) при скользящем отражении, опреде-
ляемом вектором
)1 ,3 ,2( −а и плоскостью, проходящей через точку К(2, –1, 1) 
                                         88

                                  8(4 x − y − 2 z − 9)
                        x`` = x −   2       2         2
                                                         + 2,
                                  4 + (−1) + (−2)
                                   2(4 x − y − 2 z − 9)
                        y`` = y + 2          2         2
                                                         + 2,
                                   4 + (−1) + (−2)
                                  4(4 x − y − 2 z − 9)
                        z `` = z + 2        2         2
                                                         + 3.
                                  4 + (−1) + (−2)
     После элементарных преобразований в правой части получим формулы
скользящего отражения в виде
                               11     8     16   38
                         x` = −   x+     y+ z+ ,
                               21     21    21   7
                              8    19      4   8
                         y` = x +      y− z+ ,
                             21    21     21   7
                             16     4     8    9
                         z` = x − y − z + .
                             21    21     21   7
       Для    того,   чтобы   найти      уравнение        прообраза   плоскости
                                    11    8     16  38
2 x + y − z − 1 = 0 , заменим в нем x на −
                                       x+    y + z + , y – на
                                    21    21    21  7
8     19  4   8           16    4    8    9
   x + y − z + , а z – на    x − y − z + . В результате получим
21    21  21  7           21    21  21    7
уравнение вида
         11    8    16 38 8   19   4  8 16  4    8
   2(−      x+    y+ z+ )+ x+    y− z+ − x+    y+ z−
         21    21   21 7  21  21   21 7 21  21   21
       9
   −     − 1 = 0.
       7
       Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получим уравнение
10 x − 13 y − 12 z − 68 = 0 прообраза плоскости 2 x + y − z − 1 = 0 при скользя-
щем отражении.

       Упражнения и задачи для самостоятельного выполнения

       1. Составить формулы скользящего отражения, определяемого вектором
а(1, 1, − 8) и плоскостью, проходящей через точку А(1, –2, 1) и перпендикуляр-
ной прямой АВ, если В(4, 3, 2). (Система координат – прямоугольная декарто-
ва).
     2. Найти прообраз точки Р(2, –1, 1) при скользящем отражении, опреде-
ляемом вектором а( 2, 3, − 1) и плоскостью, проходящей через точку К(2, –1, 1)

Страницы