Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

87
Пример 2. Найти уравнение прообраза плоскости 012 =−−+
z
y
x
при
скользящем отражении пространства, определяемом вектором
АВ и плоско-
стью, проходящей через точки А(1, –1, –2) и В(3, 1, 1) и перпендикулярной
плоскости
α:
0532 =−+− zy
x
. (Система координат – прямоугольная декар-
това).
Решение. Чтобы найти образ данной плоскости при скользящем отраже-
нии, необходимо составить формулы, задающие это отражение относительно
заданной ПДСК
kjiО . Для этого необходимо знать координаты вектора АВ и
уравнение плоскости, проходящей через точки А и В и перпендикулярной плос-
кости
α. Поскольку координаты точек А и В известны, то легко можно найти
координаты вектора
)3 ,2 ,2(АВ . Так как плоскость скользящего отражения
пространства перпендикулярна плоскости
α, то вектор )3 ,2 ,1( −n нормали
плоскости
α параллелен искомой плоскости. Таким образом, мы имеем две раз-
личные точки, принадлежащие плоскости скользящего отражения пространст-
ва, и вектор, ей параллельный. Для того, чтобы составить уравнение этой плос-
кости, будем использовать уравнение плоскости, заданной двумя точками
М
1
(x
1
, y
1
, z
1
) и M
2
(x
2
, y
2
, z
2
) и параллельным ей вектором ) , ,( cbam :
.0
121212
111
=−−−
−−−
cbа
zzyyxx
zzyyxx
Подставляя в это уравнение вместо x
1
, y
1
, z
1
координаты точки А, вместо
x
2
, y
2
, z
2
координаты точки В, а вместо cba ,, координаты вектора
n
, получим
уравнение искомой плоскости:
0
321
211113
211
=
−
++−
+
+
− zyx
.
В левой части этого уравнения раскроем определитель 3-го порядка и
приведем подобные слагаемые. В результате получим уравнение плоскости
скользящего отражения в виде
0924
=
−
−
−
z
y
x
. Теперь, зная уравнение
плоскости и координаты вектора, определяющих скользящее отражение, соста-
вим его формулы: 
                                        87



     Пример 2. Найти уравнение прообраза плоскости 2 x + y − z − 1 = 0 при
скользящем отражении пространства, определяемом вектором АВ и плоско-
стью, проходящей через точки А(1, –1, –2) и В(3, 1, 1) и перпендикулярной
плоскости α: x − 2 y + 3 z − 5 = 0 . (Система координат – прямоугольная декар-
това).
       Решение. Чтобы найти образ данной плоскости при скользящем отраже-
нии, необходимо составить формулы, задающие это отражение относительно
заданной ПДСК Оi j k . Для этого необходимо знать координаты вектора АВ и
уравнение плоскости, проходящей через точки А и В и перпендикулярной плос-
кости α. Поскольку координаты точек А и В известны, то легко можно найти
координаты вектора АВ(2, 2, 3) . Так как плоскость скользящего отражения
пространства перпендикулярна плоскости α, то вектор n (1, − 2, 3) нормали
плоскости α параллелен искомой плоскости. Таким образом, мы имеем две раз-
личные точки, принадлежащие плоскости скользящего отражения пространст-
ва, и вектор, ей параллельный. Для того, чтобы составить уравнение этой плос-
кости, будем использовать уравнение плоскости, заданной двумя точками
М1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2) и параллельным ей вектором m(a, b, c) :
                         x − x1    y − y1    z − z1
                         x2 − x1   y2 − y1   z 2 − z1 = 0.
                           а        b         c
        Подставляя в это уравнение вместо x1, y1, z1 координаты точки А, вместо
x2, y2, z2 координаты точки В, а вместо a, b, c координаты вектора n , получим
уравнение искомой плоскости:
                            x −1 y +1 z + 2
                            3 −1 1+1 1+ 2 = 0 .
                               1    −2       3
     В левой части этого уравнения раскроем определитель 3-го порядка и
приведем подобные слагаемые. В результате получим уравнение плоскости
скользящего отражения в виде 4 x − y − 2 z − 9 = 0 . Теперь, зная уравнение
плоскости и координаты вектора, определяющих скользящее отражение, соста-
вим его формулы:

Страницы