Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 91 стр.

                                        91

Относительно выбранной системы координат получим формулы поворота про-
странства вокруг прямой d на направленный угол α. Для этого возьмем произ-
вольную точку М пространства. Пусть она относительно ПДСК Оi j k имеет
координаты ( x, y, z ) . Под действием поворота эта точка перейдет в некоторую
точку M` ( x`, y`, z `) . По определению поворота, точки М и M` лежат в одной
плоскости, перпендикулярной оси Оz, значит, их последние координаты совпа-
дают. Поворот пространства вокруг оси Оz определяет на плоскости Оxy пово-
рот вокруг точки О. Если точки M и M` ортогонально спроектировать на эту
плоскость, то получим точки M1 и М`1, которые относительно ПДСК Оi j на
координатной плоскости будут иметь координаты М1 ( x, y ) и M`1 ( x`, y`) , рав-
ные первым координатам точек М и M`. Из формул
                              x` = x cos α − y sin α,
                              y` = x sin α + y cos α
поворот плоскости вокруг точки получаем, что формулы поворота пространства
вокруг оси Оz имеют вид
                            x` = x cos α − y sin α,
                            y` = x sin α + y cos α,                        (8.1)
                            z ` = z.

     Свойства поворота пространства вокруг прямой

      1. Поворот пространства вокруг прямой на заданный угол сохраняет
расстояния между любыми точками.
      2. Поворот пространства вокруг прямой на заданный угол сохраняет
простое отношение трех точек.
      3. Поворот пространства вокруг прямой на заданный угол переводит
отрезок в отрезок, луч в луч.
      4. Поворот пространства вокруг прямой на заданный угол переводит
плоскость в плоскость, полупространство в полупространство, полуплоскость
в полуплоскость, прямую в прямую.
      5. Поворот пространства вокруг прямой на заданный угол всякую плос-
кость, перпендикулярную оси поворота, оставляет на месте.
      6. Поворот пространства вокруг прямой на заданный угол переводит ли-
нейный угол в равный ему линейный угол.
      7. Поворот пространства вокруг прямой на заданный угол переводит
двугранный угол в равный ему двугранный угол.
      8. Поворот пространства вокруг прямой m на угол α переводит полу-
плоскость с границей m в полуплоскость с той же границей m, причем величина
двугранного угла между плоскостями равна углу поворота.