Компьютерный практикум по методам математической физики с использованием системы Mathematica. Уравнения в частных производных и интегральные уравнения. Дорофеев Д.Л - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Коэффициенты A
n
, B
n
определяются следующими выражениями:
A
n
=
1
c
n
r
0
Z
0
rϕ(r)J
0
(λ
n
r) dr;
B
n
=
1
c
n
vλ
n
r
0
Z
0
rψ(r)J
0
(λ
n
r) dr;
c
n
=
r
0
Z
0
J
2
0
(λ
n
r) dr =
1
2
r
2
0
J
2
1
(µ
n
).
Упражнение 1. Запишите общее решение задачи с нулевыми на-
чальными скоростями, т. е. при ϕ(r) 6= 0, ψ(r) = 0. Введите полученные
формулы в Mathematica, взяв следующие значения параметров v, r
0
и функ-
ции ϕ(r):
v = 1,
r = 0.5,
ϕ(r) = exp(−r
2
) − exp(−r
2
0
).
В решении ограничьтесь первыми пятью гармониками свободных ко-
лебаний.
Указание: Для расчета функций Бесселя следует использовать уже зна-
комую вам функцию BesselJ, а для расчета ее нулей – функцию
BesselJZeros. Функция BesselJZeros содержится в стандартном пакете
Mathematica NumericalMath‘BesselZeros‘. Справку по этому пакету и содер-
жащимся в нем командам можно получить в разделе Help → Add-ons →
StandardPackages → NumericalMath → BesselZeros. Обратите вни-
мание, что прежде че м использовать какую-либо из функций пакета, его
необходимо загрузить, для чего требуется выполнить команду
«NumericalMath‘BesselZeros‘.
Выполните следующие зада ния:
1) убедитесь, что введенные выражения позволяют вычислить значе-
ние функции u(r, t) для произвольного r в интервале 0 ≤ r ≤ r
0
и произ-
вольного t > 0;
2) проверьте, что рассчитываемые таким образом значения u(r, t) при
t = 0 мало отличаются от точных значений, т. е. от ϕ(r). (Это отличие воз-
никает из-за погрешности численных расчетов и из-за того, что при расчете
были учтены не все гармоники, а только п ервые 5.) Постройте график раз-
ности u(r, 0) − ϕ(r);
3) увеличьте число гармоник и убедитесь, что отличие u(r, 0) от ϕ(r)
уменьшается. Постройте опять гра фик разнос ти u(r, 0) − ϕ(r);
15
     Коэффициенты An , Bn определяются следующими выражениями:
                            Zr0
                         1
                  An =          rϕ(r)J0(λn r) dr;
                         cn
                                    0
                                        Zr0
                              1
                      Bn =                    rψ(r)J0(λn r) dr;
                           cn vλn
                                        0
                             Zr0
                                                 1
                      cn =         J02(λn r) dr = r02 J12(µn ).
                                                 2
                             0

    Упражнение 1. Запишите общее решение задачи с нулевыми на-
чальными скоростями, т. е. при ϕ(r) 6= 0, ψ(r) = 0. Введите полученные
формулы в Mathematica, взяв следующие значения параметров v, r 0 и функ-
ции ϕ(r):
     v = 1,
     r = 0.5,
     ϕ(r) = exp(−r 2) − exp(−r02).
     В решении ограничьтесь первыми пятью гармониками свободных ко-
 лебаний.
     Указание: Для расчета функций Бесселя следует использовать уже зна-
 комую вам функцию BesselJ, а для расчета ее нулей – функцию
 BesselJZeros. Функция BesselJZeros содержится в стандартном пакете
 Mathematica NumericalMath‘BesselZeros‘. Справку по этому пакету и содер-
 жащимся в нем командам можно получить в разделе Help → Add-ons →
 StandardP ackages → N umericalMath → BesselZeros. Обратите вни-
 мание, что прежде чем использовать какую-либо из функций пакета, его
 необходимо загрузить, для чего требуется выполнить команду
 «NumericalMath‘BesselZeros‘.
     Выполните следующие задания:
      1) убедитесь, что введенные выражения позволяют вычислить значе-
ние функции u(r, t) для произвольного r в интервале 0 ≤ r ≤ r0 и произ-
вольного t > 0;
      2) проверьте, что рассчитываемые таким образом значения u(r, t) при
t = 0 мало отличаются от точных значений, т. е. от ϕ(r). (Это отличие воз-
никает из-за погрешности численных расчетов и из-за того, что при расчете
были учтены не все гармоники, а только первые 5.) Постройте график раз-
ности u(r, 0) − ϕ(r);
      3) увеличьте число гармоник и убедитесь, что отличие u(r, 0) от ϕ(r)
уменьшается. Постройте опять график разности u(r, 0) − ϕ(r);
                                            15

Страницы