Компьютерный практикум по методам математической физики с использованием системы Mathematica. Уравнения в частных производных и интегральные уравнения. Дорофеев Д.Л - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Для каждого случая представьте графически распределение темпера-
туры по x в интервале −3 < x < 3 для моментов времени t = 0.001, 0.03, 0.3.
Представьте эти распределения в виде трех кривых на одном графике, вы -
полненных различным стилем, например, сплошной линией, пунктиром и
штрихпунктиром. Используйте для э того опцию PlotStyle с директивой
Dashing. Постройте так же для каждого случая гра фик зависимоcти темпе-
ратуры от времени в точке x = 0 для 0 < t < 2. Для случая 2), к р о ме этого,
найдите момент времени, когда температура в точке x = 0 достигает мак-
симального значения, и определите это значение температуры. Для нахож-
дения этого момента используйте команды D, Solve или FindMinimum.
Дополнительно: Докажите, что в этот момент два локальных макси-
мума в распреде лении температуры по x сливаются, и образуется один
максимум, расположенный в точке x = 0. Иначе говоря, начиная с это-
го момента, точка x = 0 становится самой горячей точкой стержня. Для
доказательства можно использовать средства символьных пре об р азований
в пакете Mathematica (команды D, Solve и т. п.).
З а н я т и е 6
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ
Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода
ϕ(x) − λ
b
Z
a
K(x, t)ϕ(t) dt = f (x) (15)
Его ядро K(x, t) называется вырожденным, если оно может быть
представлено в виде конечной суммы:
K(x, t) =
n
X
k=1
a
k
(x)b
k
(t). (16)
Для определенности будем считать, что функции a
k
(x), b
k
(t), k =
1, . . . , n являются не прерывными и линейно-независимыми в основном
квадрате, т. е. при a ≤ x ≤ b, a ≤ t ≤ b. Решение уравнения (15) с таким
ядром может быть представлено с ле дующим образом. Подставляя (16) в
(15), легко получить выражение для ϕ(x)
ϕ(x) = f(x) + λ
n
X
k=1
C
k
a
k
(x), (17)
17
     Для каждого случая представьте графически распределение темпера-
туры по x в интервале −3 < x < 3 для моментов времени t = 0.001, 0.03, 0.3.
Представьте эти распределения в виде трех кривых на одном графике, вы-
полненных различным стилем, например, сплошной линией, пунктиром и
штрихпунктиром. Используйте для этого опцию PlotStyle с директивой
Dashing. Постройте также для каждого случая график зависимоcти темпе-
ратуры от времени в точке x = 0 для 0 < t < 2. Для случая 2), кроме этого,
найдите момент времени, когда температура в точке x = 0 достигает мак-
симального значения, и определите это значение температуры. Для нахож-
дения этого момента используйте команды D, Solve или FindMinimum.
     Дополнительно: Докажите, что в этот момент два локальных макси-
мума в распределении температуры по x сливаются, и образуется один
максимум, расположенный в точке x = 0. Иначе говоря, начиная с это-
го момента, точка x = 0 становится самой горячей точкой стержня. Для
доказательства можно использовать средства символьных преобразований
в пакете Mathematica (команды D, Solve и т. п.).


                            Занятие 6
   ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ

    Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода
                               Zb
                    ϕ(x) − λ        K(x, t)ϕ(t) dt = f (x)            (15)
                               a

    Его ядро K(x, t) называется вырожденным, если оно может быть
представлено в виде конечной суммы:
                                      n
                                      X
                        K(x, t) =           ak (x)bk (t).             (16)
                                      k=1

        Для определенности будем считать, что функции ak (x), bk (t), k =
1, . . . , n являются непрерывными и линейно-независимыми в основном
квадрате, т. е. при a ≤ x ≤ b, a ≤ t ≤ b. Решение уравнения (15) с таким
ядром может быть представлено следующим образом. Подставляя (16) в
(15), легко получить выражение для ϕ(x)
                                            n
                                            X
                      ϕ(x) = f (x) + λ            Ck ak (x),          (17)
                                            k=1

                                       17

Страницы