Компьютерный практикум по методам математической физики с использованием системы Mathematica. Уравнения в частных производных и интегральные уравнения. Дорофеев Д.Л - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

где
C
k
=
b
Z
a
b
k
(t)ϕ(t) dt. (18)
Подставляя теперь (17) в (18), мы получаем систему уравнений для
коэффициентов C
k
, которая может быть приведена к виду:
n
X
m=1
(δ
km
− λa
km
)C
m
= f
k
, k = 1, . . . , n, (19)
где
a
km
=
b
Z
a
b
k
(t)a
m
(t) dt, f
k
(t) =
b
Z
a
f(t)b
k
(t) dt;
δ
km
– символ Кронекера. Система (19) может быть записана в матричном
виде:
(I − λA)C = F, (20)
где
A =
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
. . . a
nn
, C =
c
1
c
2
.
.
.
c
n
, F =
f
1
f
2
.
.
.
f
n
,
I – единичная матрица.
Если
det(I − λA) 6= 0,
то матрица I − λA может обращена, и система (20) имеет единственное
решение:
C = (I − λA)
−1
F. (21)
Подставляя найденные коэффициенты C
k
в (17), мы получаем ис-
комое решение интегрального уравнения (15).
Если же det(I−λA) = 0, то матрица I−λA не может быть обращена,
и решение не может быть найдено по формуле (21). Решение при этом
либо не единственно, либо не существует. Этот случай будет специально
рассматриваться позднее.
Упражнение 1. В соответствии с изложенным выше алгоритмом
решите следующие уравнения:
18
где
                                        Zb
                                 Ck =         bk (t)ϕ(t) dt.                           (18)
                                        a
    Подставляя теперь (17) в (18), мы получаем систему уравнений для
коэффициентов Ck , которая может быть приведена к виду:
                 n
                 X
                      (δkm − λakm )Cm = fk ,               k = 1, . . . , n,           (19)
                 m=1

где
                       Zb                                      Zb
              akm =         bk (t)am (t) dt,        fk (t) =        f (t)bk (t) dt;
                       a                                       a
δkm – символ Кронекера. Система (19) может быть записана в матричном
виде:
                           (I − λA)C = F,                        (20)
где
                                                                         
              a11 a12         . . . a1n              c1                      f1
             a a             . . . a2n            c                     f 
              21 22                                 2                     2
         A =  ..  ..         . . . ...  ,     C =  ..  ,            F =  ..  ,
                                        
              .    .                              .                     .
              an1 an2         . . . ann              cn                      fn

         I – единичная матрица.
      Если
                           det(I − λA) 6= 0,
то матрица I − λA может обращена, и система (20) имеет единственное
решение:
                        C = (I − λA)−1F.                        (21)
    Подставляя найденные коэффициенты Ck в (17), мы получаем ис-
комое решение интегрального уравнения (15).
    Если же det(I−λA) = 0, то матрица I−λA не может быть обращена,
и решение не может быть найдено по формуле (21). Решение при этом
либо не единственно, либо не существует. Этот случай будет специально
рассматриваться позднее.

    Упражнение 1. В соответствии с изложенным выше алгоритмом
решите следующие уравнения:

                                               18

Страницы