Компьютерный практикум по методам математической физики с использованием системы Mathematica. Уравнения в частных производных и интегральные уравнения. Дорофеев Д.Л - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

З а н я т и е 7
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА, СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим однородное интегральное уравнение Фредгольма 2-го
рода
ϕ(x) − λ
b
Z
a
K(x, t)ϕ(t) dt = 0 (22)
Значения параметра λ, при которых эт о уравнение имеет не т риви-
альные, т. е. отличные от нулевого, решения, называются его характери-
стическими числами, а соотве т ствующие решения ϕ(x) – собственными
функциями. Лег ко видеть, что λ = 0 не может быть характеристическим
числом. Это позволяет нам поделить уравнение (22) на λ и ввести обо-
значение µ = 1/λ. В результа т е уравнение (22) может быть приведено к
виду:
b
Z
a
K(x, t)ϕ(t) dt = µ ϕ(x). (23)
Значения параметра µ, при которых это уравнение имеет нетриви-
альные решения, называются его собственными значениями, а соответ-
ствующие решения ϕ(x) – со б ственными функциями. Очевидно, что ес-
ли некоторое µ 6= 0 является собственным значением уравне ния (23), то
λ = 1/µ будет характеристическим числом уравнения (22), с теми же са-
мыми собственными функциями. Таким образом, задача нахождения ха-
рактеристических чисел эквивалентна задаче нахождения собственных
значений.
Если ядро K(x, t) является вырожденным, т. е. может быть пред-
ставлено в виде конечной суммы:
K(x, t) =
n
X
k=1
a
k
(x)b
k
(t), (24)
то эта задача сводится к нахождению соб ственных значений и соб-
ственных векторов матрицы A (определение этой матрицы было дано
в тексте прошлого занятия). Работая с Mathematica, собственные значе-
ния и собственные вектора заданной матрицы можно найти с помощью
ко м а нд Eigenvalues и Eigenvectors, соответст в енно.
В этом занятии мы рассм о т рим прос тейший случай данной зада-
чи, когда все собственные значения матрицы A являются простыми.
20
                           Занятие 7
 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА, СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
  И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

    Рассмотрим однородное интегральное уравнение Фредгольма 2-го
рода
                           Zb
                   ϕ(x) − λ K(x, t)ϕ(t) dt = 0              (22)
                             a
    Значения параметра λ, при которых это уравнение имеет нетриви-
альные, т. е. отличные от нулевого, решения, называются его характери-
стическими числами, а соответствующие решения ϕ(x) – собственными
функциями. Легко видеть, что λ = 0 не может быть характеристическим
числом. Это позволяет нам поделить уравнение (22) на λ и ввести обо-
значение µ = 1/λ. В результате уравнение (22) может быть приведено к
виду:
                       Zb
                          K(x, t)ϕ(t) dt = µ ϕ(x).                (23)
                      a
    Значения параметра µ, при которых это уравнение имеет нетриви-
альные решения, называются его собственными значениями, а соответ-
ствующие решения ϕ(x) – собственными функциями. Очевидно, что ес-
ли некоторое µ 6= 0 является собственным значением уравнения (23), то
λ = 1/µ будет характеристическим числом уравнения (22), с теми же са-
мыми собственными функциями. Таким образом, задача нахождения ха-
рактеристических чисел эквивалентна задаче нахождения собственных
значений.
    Если ядро K(x, t) является вырожденным, т. е. может быть пред-
ставлено в виде конечной суммы:
                                   n
                                   X
                       K(x, t) =         ak (x)bk (t),            (24)
                                   k=1

     то эта задача сводится к нахождению собственных значений и соб-
ственных векторов матрицы A (определение этой матрицы было дано
в тексте прошлого занятия). Работая с Mathematica, собственные значе-
ния и собственные вектора заданной матрицы можно найти с помощью
команд Eigenvalues и Eigenvectors, соответственно.
     В этом занятии мы рассмотрим простейший случай данной зада-
чи, когда все собственные значения матрицы A являются простыми.

                                   20

Страницы