Компьютерный практикум по методам математической физики с использованием системы Mathematica. Уравнения в частных производных и интегральные уравнения. Дорофеев Д.Л - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

4) так же, как это было сделано на предыдущем занятии (для колеба-
ний струны), постройте серию двумерных графиков, на которых изобразите
u(r, t) как функцию от r для ряда последовательных моментов времени (на-
пример, первый график u(r, 0.1), второй u(r, 0.2) и т. д.), a затем в ы полните
их анимацию;
5) просмотрите справку по команде SurfaceOfRevolution, содержа-
щейся в пакете Graphics‘SurfaceOfRevolution‘. Постройте с ее помощью трех-
мерный график, представляющий круглую мембрану, о п исываемую функци-
ей u(r, t), в какой-либо фиксирован ный момент в ремени t;
6) постройте серию таких трехмерных гр афиков для ряда последова -
тельных моментов времени и выполните их анимацию.
З а н я т и е 5
ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Пусть требуется найти ограниченную функцию u(x, t), определен-
ную в области −∞ < x < ∞ и являющуюся решением задачи:
u
t
= a
2
u
xx
+ f(x, t), −∞ < x < ∞, t > 0
u(x, 0) = ϕ(x).
Такая функция u(x, t) может быть представлена в форме
u(x, t) =
∞
Z
−∞
ϕ(x
′
)G(x − x
′
, t) dx
′
+
t
Z
0
∞
Z
−∞
f(x
′
, t
′
)G(x − x
′
, t − t
′
) dx
′
dt
′
,
где
G(ξ, τ ) =
1
4πa
2
τ
exp
−ξ
2
4a
2
τ
.
Упражнение 1. Получите решение рассмотренной задачи для a=1,
f(x, t) ≡ 0 и
1) ϕ(x) =
(
1, |x| ≤ 1
0, |x| > 1;
2) ϕ(x) =
(
1, |x| ∈ [1/2, 1]
0, |x| /∈ [1/2, 1].
16
       4) так же, как это было сделано на предыдущем занятии (для колеба-
ний струны), постройте серию двумерных графиков, на которых изобразите
u(r, t) как функцию от r для ряда последовательных моментов времени (на-
пример, первый график u(r, 0.1), второй u(r, 0.2) и т. д.), a затем выполните
их анимацию;
       5) просмотрите справку по команде SurfaceOfRevolution, содержа-
щейся в пакете Graphics‘SurfaceOfRevolution‘. Постройте с ее помощью трех-
мерный график, представляющий круглую мембрану, описываемую функци-
ей u(r, t), в какой-либо фиксированный момент времени t;
       6) постройте серию таких трехмерных графиков для ряда последова-
тельных моментов времени и выполните их анимацию.


                                   Занятие 5
               ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
      ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

    Пусть требуется найти ограниченную функцию u(x, t), определен-
ную в области −∞ < x < ∞ и являющуюся решением задачи:

                    ut = a2 uxx + f (x, t),     −∞ < x < ∞,            t>0
                    u(x, 0) = ϕ(x).

      Такая функция u(x, t) может быть представлена в форме
             Z∞                               Z t Z∞
 u(x, t) =        ϕ(x′)G(x − x′ , t) dx′ +             f (x′, t′ )G(x − x′, t − t′ ) dx′ dt′ ,
             −∞                               0 −∞

где
                                                  2
                                        1         −ξ
                           G(ξ, τ ) =        exp        .
                                      4πa2 τ      4a2 τ
      Упражнение 1. Получите решение рассмотренной задачи для a=1,
f (x, t) ≡ 0 и
                 (
                  1, |x| ≤ 1
       1) ϕ(x) =
                  0, |x| > 1;
                 (
                  1, |x| ∈ [1/2, 1]
       2) ϕ(x) =
                  0, |x| ∈
                         / [1/2, 1].

                                              16

Страницы