Физика атмосферных аэрозольных систем. Довгалюк Ю.А - 118 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

ограниченности функции распределения:
() ( )
rrrprprp 2411,
2
−++−++=Φ
.
Следовательно:
При τ → 1 для χ » 1 в соответствии с асимптотикой функции Бесселя
()
(
)
πχχ≅χ
2exp
1
I
получим
(6.16)
Таким образом, функция распределения капель по размерам эволюционирует от
экспоненциального закона к степенному. Из формулы (6.16) видно, что асимптотическое поведение
спектра размеров не зависит от начального распределения капель при сохранении среднего объема
начального спектра, т.е. существует предельная форма спектра для крупных капель, не зависящая от
начального распределения. Однако к этому выводу надо относиться с известной осторожностью, так
как необходимы дополнительные исследования влияния ядра интегрального уравнения и исходного
начального распределения на вид асимптотики.
Для решения уравнения (6.11) можно также воспользоваться методом моментов Грэда. Идея
его состоит в том, что решение кинетического уравнения Больцмана — Максвелла сводится к
математической постановке проблемы моментов.
Практически метод моментов состоит в том, что устанавливается соотношение между
моментами функции распределения капель по размерам с весом ρ(V) и коэффициентами разложения
искомой функции распределения по полиномам, ортогональным с той же весовой функцией. При
этом коэффициенты разложения функции распределения по ортогональной системе полиномов с
весом ρ(V) оказываются линейными комбинациями моментов функции распределения с той же
весовой функцией. Искомая функция распределения удовлетворяет условию полноты, т.е. она
интегрируема в квадрате, и поэтому такое разложение вполне справедливо. Действительно, интеграл
() ()
∫
∞
=
0
,,, txNVtxVn
существует, функция n(V,
x
,t) для любого объема ограничена, поэтому
существует и интеграл
()
[]
∫
∞
0
2
,, dVtxVn
. Разложим n(V,
x
,t) в ряд следующим образом:
(6.17)
Здесь
ψ
i
(V) — система ортогональных функций с весом ρ(V); a
i
(
x
,t) — коэффициент разложения. В
силу ортогональности полиномов
ψ
i
с весом ρ(V)
() ()( )
∫
∞
ψ≅
0
,,, dVtxVnVtxa
mm
. Так как
ψ
m
(V) —
полиномы и момент m-го порядка функции n(V,
x
,t) по определению есть следующая функция:
(6.18)
то интеграл, входящий в выражение для a
m
(
x
,t), представляет собой линейную комбинацию
моментов функции распределения. Непрерывная функция однозначно определяется своими
коэффициентами разложения по заданной ортогональной системе полиномов, поэтому и наша
искомая функция распределения однозначно определяется всей совокупностью своих моментов.
Далее (для простоты) рассмотрим горизонтально-однородную задачу (x
i
=z,V). Домножим оба
уравнения (6.11) на V
m
dV и проинтегрируем его от 0 до ∞, полагая
V
=(dV/dt)
c
ond
≅0. После
преобразования второго члена в правой части этого уравнения получим:
(6.19)

Страницы