Интеллектуальные информационные системы. Дубровин А.Д. - 116 стр.

                    ( Pi X - PiY ) 2                   4        0      4    1       1

Если бы ранжирования Х и Y были строго противоположны (табл.5.6.3), то сумма квадратов
разностей была бы максимальной.
                                            Таблица 5.6.3
                   Ранжируемые    А 1 A2 А 3 А 4 А 5
                   альтернативы
                   Pi X            1    2   3   4     5
                    PiY                                5        4      3    2       1
                    ( Pi X - PiY )                     4        2      0    2       4
                    ( Pi X - PiY ) 2                   16       4      0    4       16

Для произвольного числа оцениваемых альтернатив (N) максимум этой суммы соответствует
условию (5.6.10). Таким образом, максимальное значение критерия Спирмэна определяется
только разностью рангов одноименных альтернатив в сравниваемых ранжированиях. То
есть, с учетом условий (5.6.9) и (5.6.10), можно записать
                                                            N
                                                       3 ⋅ ∑ ( Pi X − PiY ) 2
                                                            i =1
                          [R S ] MAX = 1 =                                      .        (5.6.11)
                                                                   N3 − N

      Для учета в R S инверсий рангов, определяемых разностям их значений, присвоенных
каждым экспертом (i-й) и (v-й) альтернативам в своем ранжировании, необходимо ввести
относительные «веса» Z iv этих инверсий. Они должны быть вычислены с учетом разностей
рангов, назначенных экспертом каждой альтернативе, и с учетом релейной (по принципу
«да» или «нет») оценки D iv соответствия этих рангов порядку размещения альтернатив в
сравниваемых ранжированиях. Поэтому «веса» Z iv инверсий рангов ( Pi X и P Yv для i < v) при
сравнении ранжирований представляют собой зависимости вида
                   Z iv = D iv ( Pi X - P Yv )                           (5.6.12)

               где D iv = 1, если              Pi X > P Yv и
                    D iv = 0, если                 Pi X < P Yv .                          (5.6.13)

    Сумма V всех взвешенных инверсий рангов в каждом ранжировании определяется по
формуле
                              N −1 N
                       V=     ∑ ∑Z
                               i =1 v =i +1
                                              iv   .                                       (5.6.14)

C учетом взвешенных инверсий рангов формула для R S примет вид
                             12 ⋅ V
                    R S = 1- 3                                        (5.6.15)
                             N −N
                                     N3 − N
     Максимальное значение V=V MAX =        достигается при полностью
                                       6
противоположных ранжированиях Х и Y. В этом случае R S можно определять по формуле
                            2 ⋅V
                 RS = 1 -         .                                   (5.6.16)
                            VMAX


                                                                                                      151