Моделирование систем и комплексов. Душин С.Е - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

106
метод Ньютона сходится за одну итерацию. При этом шаг дифференциро-
вания должен быть больше, чем при решении нелинейных уравнений.
Метод Ньютона особенно эффективен, когда )(
x
Φ
– выпуклая функ-
ция (выпуклая функция – для любых
xx
′
′
′
,
и при каждом )1,0(∈λ удовле-
творяется неравенство
()
)()1()()1( xxxx
′′
ϕ
λ
−
+
′
λ
ϕ
≤
′
′
λ
−
+
′
λϕ ).
Теоретические условия сходимости метода Ньютона – существование
и ограниченность обратной матрицы Якоби
[
]
1
)(
−
Φ
′
x в точке начального
приближения, ограниченность и непрерывность первых и вторых произ-
водных функций – сложно использовать на практике для определения гра-
ниц области сходимости. В связи с этим начальные приближения
0
x при-
ходится задавать эмпирически; при этом сходимость уже не гарантируется.
Рекомендуется при выборе начального приближения руководствоваться
физическими соображениями, т. е. использовать известную информацию о
равновесии хотя бы части переменных СУ.
3.4. Повышение алгоритмической надёжности итерационных методов
Для повышения надёжности сходимости итерационных методов, свя-
занных с определением состояний равновесия, обычно используют метод
продолжения решения по параметру. В соответствии с этим методом
уравнение (3.2) заменяется эквивалентным уравнением
,),(
0x =τΦ (3.11)
где параметр
[
]
maxmi
n
, τ
τ
∈τ выбирается так, что решение
0
xx = уравне-
ния
0x =τΦ ),(
mi
n
известно, а )(),(
max
xx
≡
τ
.
С целью удобства объяснения сути метода вводятся оператор
[]
),( τΦ xa
, обозначающий промежуточное решение уравнения (3.11), полу-
ченное в результате совершения одной итерации любым численным мето-
дом k -м шаге, и оператор
[
]
),(
τ
xA , обозначающий окончательное реше-
ние того же уравнения в результате совершения нескольких итераций на
последнем шаге.
Тогда метод продолжения решения по параметру с ограниченным
параметром и одной итерацией на каждом k -м продолжении (шаге), кроме
последнего, можно записать в виде
;,;1,,1,0),(
maxmin01
τ
=
τ
τ
=
τ
−
=τ=τ
+ qkk
qkp K
(
)
),(
11
+
+
τ
=
kkk
a xx , (3.12)
а на последнем шаге

Страницы