Составители:
115
Пример 4.2. Явный метод Эйлера.
Исходное ДУ (4.2) заменяется разностным уравнением (осуществля-
ется дискретизация), которое записывается в канонической форме (3.6):
00
1
,,2,1,0,0),( vxnxtF
h
xx
nn
nn
===−
−
+
K . (4.3) (4.3)
Решение этого уравнения находится явным образом по рекуррентной
формуле
K,2,1,0,0),(
1
=
=
+=
+
nxthFxx
nnnn
.
При использовании приближённых методов важным вопросом явля-
ется вопрос о сходимости. Применительно к разностным методам наи-
большее распространение получило понятие сходимости приближённого
метода при 0→h [18].
Зафиксируем точку
t
и построим последовательность сеток
h
ω
, таких,
что 0→h и tnht
n
== , при этом необходимо, чтобы
∞
→n .
Говорят, что метод сходится в точке
n
tt
=
, если выполняется усло-
вие
0)( →−
nn
tvx при 0→h .
Другими словами, приближённое решение в точке
n
tt
=
сходится к точно-
му в этой точке при 0→h .
Метод сходится на полуинтервале
(
]
к0
, tt , если он сходится в каждой
точке
(
]
к0
, ttt ∈ .
Применение численного метода неизбежно связано с погрешностью
или, другими словами, точностью решения.
Метод имеет
p
-й порядок точности, если существует такое целое
число 0>
p
, что
)()(
p
nn
hOtvx =−
при 0→h ,
где )(
p
hO означает порядок малости, соизмеримый с величиной
p
h .
Погрешность метода определяется выражением
)(
nnn
tvx
−
=
Δ
и является мерой удалённости приближённого решения от точного.
При подстановке выражений для погрешностей, определённых в мо-
менты времени
1
+
n
t и
n
t , в формулу (4.3) явного метода Эйлера, получает-
ся
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- …
- следующая ›
- последняя »
