Моделирование систем и комплексов. Душин С.Е - 118 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

117
[]
.,,2,1,0,0),(),(
2
1
0011
1
vxnxtFxtF
h
xx
nnnn
nn
===+−
−
++
+
K
(4.4)
Значение
1+n
x определяется по найденному ранее решению
n
x в результа-
те решения уравнения
()
,
2
11 nnnn
FF
h
xx ++=
++
где
),(
nnn
xtFF = , ),(
111 +++
=
nnn
xtFF , поэтому метод называется неявным.
Преимуществом неявного метода (4.4) по сравнению с явным (4.3) яв-
ляется более высокий порядок точности. Действительно,
)(
2
1
32
1
hOhvhvvv
nnnn
−
′′
+
′
+=
+
или
).(
2
2
1
hOv
h
v
h
vv
nn
nn
−
′′
+
′
=
−
+
Аналогичным образом можно записать для производной
)(
2
1
hOhvvv
nnn
−
′′
+
′
=
′
+
или
).(
1
hOv
h
vv
n
nn
−
′′
=
′
−
′
+
Тогда выражение для невязки
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
′′
+
′
−+=
−
−+=ε
+
+
+
)(
2
)(
2
1
)(
2
1
2
1
1
1
hOv
h
vFF
h
vv
FF
nnnn
nn
nnn
),(
2
1
)(
2
)(
2
1
22
1
2
1
)(
2
)(
2
1
222
2
1
hOhOv
h
vhOv
h
vv
hOv
h
vvv
nnnn
nnnn
=+
′′
−
′
−−
′′
+
′
+
′
=
=+
′′
−
′
−
′′
+
′
=
+
т. е.
n
ε ~ )(
2
hO . Таким образом, метод (4.4) имеет 2-й порядок погрешности
аппроксимации (2-й порядок точности).
Историческая справка. Леонард Эйлер (1707–1783) родился в Базеле
(Швейцария) в семье небогатого пастора. Образование получал сначала у
отца, затем поступил в 1720 году в Базельский университет, где в 1724 го-
ду произнёс речь, посвящённую сравнению философий Р. Декарта и И.
Ньютона,
и был удостоен степени магистра искусств. Его учитель Й. Бер-
нулли отзывался об Эйлере как о «знаменитейшем и мудрейшем матема-
тике». Первые публикации Эйлера по математике появляются в 1726 году.
В 1727 году он приглашается для работы в Петербургскую Академию на-
ук. В Петербурге, где Эйлер жил с 1727 по 1741 год и с 1766 до
конца жиз-
ни, ему были предоставлены самые благоприятные условия для научной
деятельности: материальное обеспечение, возможность публикации тру-

Страницы