Моделирование систем и комплексов. Душин С.Е - 117 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

116
,),(
11
nn
nn
nnn
nn
F
h
vv
vtF
h
Δ+ε=
−
−Δ+=
Δ−Δ
++
где
,),(
1
h
vv
vtF
nn
nnn
−
−=ε
+
).,(),(
1 nnnnn
vtFvtFF
−
=
Δ
+
Функция
n
ε называется невязкой или погрешностью аппроксимации
разностного уравнения (4.3) на решении исходного уравнения (4.2).
Невязка представляет собой результат подстановки точного решения
)(
t
v
в левую часть уравнения (4.3). Если бы приближённое решение
n
x
совпадало бы с точным решением
)(
n
tv , то невязка 0
=
ε
n
.
Разностный метод аппроксимирует исходное ДУ, если выполняется
условие 0→ε
n
при 0→h .
Разностный метод имеет
p
-й порядок погрешности аппроксимации
при
).(
p
n
hO=ε
Порядок точности разностного метода обычно совпадает с порядком по-
грешности аппроксимации.
Порядок погрешности аппроксимации метода Эйлера (4.3) можно
найти, используя разложение по формуле Тейлора (Taylor). Действительно,
)(
2
1
hOhvvv
nnn
−
′
+=
+
или
).(
)(
1
hO
dt
tdv
h
vv
nnn
−=
−
+
Тогда погрешность аппроксимации
n
ε
с учётом уравнения (4.2) выражает-
ся как
).()(
)(
),(),(
1
hOhO
dt
tdv
vtFvtF
n
nn
h
vv
nnn
nn
=+−=−=ε
−
+
Таким образом, метод Эйлера имеет 1-й порядок погрешности аппрокси-
мации.
В общем случае приращение функции
n
F
Δ
пропорционально погреш-
ности
n
Δ метода. Действительно, используя формулу конечных прираще-
ний (формулу Лагранжа), можно записать
.10,
),(
),(),( <θ≤Δ
∂
Δ
θ
+
∂
=−Δ+=Δ
n
nnn
nnnnnn
v
vtF
vtFvtFF
Пример 4.3. Симметричная схема метода Эйлера (неявный метод
Эйлера).
Уравнение (4.2) заменяется разностным уравнением вида

Страницы