Моделирование систем и комплексов. Душин С.Е - 121 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

120
Результаты вычислений сведены в табл. 4.1, из которой видно, что
точность вычислений с использованием неявной схемы Эйлера выше.
Таблица 4.1
n
t
∗
y
n
y
~
n
y
)
n
t
∗
y
n
y
~
n
y
)
0 1 1 1 1,6 0,2019 0,1678 0,2008
0,2 0,8187 0,8000 0,8182 1,8 0,1653 0,1342 0,1643
0,4 0,6703 0,6400 0,6694 2,0 0,1353 0,1074 0,1344
0,6 0,5488 0,5120 0,5477 2,2 0,1108 0,0859 0,1100
0,8 0,4493 0,4096 0,4481 2,4 0,0907 0,0687 0,0900
1,0 0,3679 0,3277 0,3666 2,6 0,0743 0,0550 0,0736
1,2 0,3012 0,2622 0,2999 2,8 0,0608 0,0440 0,0602
1,4 0,2466 0,2098 0,2454 3,0 0,0498 0,0352 0,0493
Существует две группы скалярных численных методов решения зада-
чи Коши [18]:
1) методы Рунге–Кутта (Runge–Kutta) или одношаговые методы;
2) многошаговые разностные методы.
Методы Рунге–Кутта отличаются от разностных методов тем, что в
них допускается вычисление правых частей ),(
v
t
F
уравнения (4.1) не
только в узловых точках сетки, но и в некоторых промежуточных точках.
Пример 4.5. Метод Рунге–Кутта второго порядка точности.
Пусть приближённое значение решения
n
x при
n
tt
=
известно. Для
нахождения
)(
11 ++
=
nn
txx используется следующий двухэтапный алгоритм.
1. По схеме Эйлера
),,(
5,0
21
nn
nn
xtF
h
xx
=
−
+
где
)
2
1
(
21
htxx
nn
+=
+
, вычисляется промежуточное значение
).,(
2
1
21 nnnn
xthFxx +=
+
2. Используется разностное уравнение
,),(
2
1
,
2
1
,
2
1
21
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
−
+
+
nnnnnn
nn
xthFxhtFxhtF
h
xx
из которого явным образом находится искомое значение
1+n
x :
.,
2
1
211
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++=
++ nnnn
xhthFxx
Метод имеет 2-й порядок погрешности аппроксимации
)(
2
hO
n
=ε и в
отличие от (4.4) является явным.

Страницы