Моделирование систем и комплексов. Душин С.Е - 124 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

123
Обычно методы Рунге–Кутта при 6≥m на практике не используются.
Частные случаи метода Рунге–Кутта
При 1=m метод соответствует схеме Эйлера (4.3).
При 2=m существует семейство методов:
),,(
1 nn
xtFk =
),,(
12122
hkbxhatFk
nn
+
+=
).(
22111
kkhxx
nn
σ+σ
+
=
+
Если 1
21
=
σ+σ , то методы будут иметь 1-й порядок погрешности
аппроксимации, т. е. )(hO .
Если дополнительно потребовать
21
21222
=
σ
=
σ
ba , то формируются
методы 2-го порядка погрешности аппроксимации, т. е. )(
2
hO . При этом
различают следующие случаи.
1. При
21,21,1,0
21221
=
=
=σ=σ=σ ba можно получить:
),,(
1 nn
xtFk = ),21,21(
12
hkxhtFk
nn
+
+
= .
21
hkxx
nn
+
=
+
Этот метод рассматривался в примере 4.5.
2. При
1,1,21
21221
=
=
=σ=σ ba можно получить другой метод 2-го
порядка (метод Хойна (Heun)):
),,(
1 nn
xtFk = ),,(
12
hkxhtFk
nn
+
+
= ).(21
211
kkhxx
nn
+
+
=
+
Двухэтапные методы 3-го порядка погрешности аппроксимации отсутст-
вуют.
При 3=m существует семейство методов:
1.
),,(
1 nn
xtFk =
),21,21(
12
hkxhtFk
nn
+
+
=
),2,(
213
hkhkxhtFk
nn
+
−+= ).4(61
3211
kkkhxx
nn
+
+
+
=
+
2. ),,(
1 nn
xtFk = kFt hx hk
nn21
13 13=
+
+
(, ),
),32,32(
23
hkxhtFk
nn
++= ).3(41
311
kkhxx
nn
+
+
=
+
Это методы 3-го порядка погрешности аппроксимации.
При m =
4 существует семейство методов:
1.
),,(
1 nn
xtFk =
),21,21(
12
hkxhtFk
nn
+
+
=
),21,21(
23
hkxhtFk
nn
++= ),,(
34
hkxhtFk
nn
+
+
=
).22(61
43211
kkkkhxx
nn
+
+
++=
+
2.
),,(
1 nn
xtFk = ),41,41(
12
hkxhtFk
nn
+
+
=
),21,21(
23
hkxhtFk
nn
++=
),22,(
3214
hkhkhkxhtFk
nn
+
−
+
+
=
).4(61
4311
kkkhxx
nn
+
++=
+

Страницы