Моделирование систем и комплексов. Душин С.Е - 127 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

126
вый метод является неявным. Тогда для нахождения
n
x приходится решать
нелинейное уравнение
),,,,(
~
210
0
mnnnnn
xxxFFbx
h
a
−−−
=− K
где
∑
=
−−−−−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
m
k
kn
k
knkmnnn
x
h
a
FbxxxF
1
21
),,,(
~
K .
Часто это уравнение решается методом Ньютона с начальным приближе-
нием
10 −
=
nn
xx .
Числовые коэффициенты в (4.5) определены с точностью до множи-
теля. Поэтому, чтобы устранить этот произвол, полагается
1
0
=
∑
=
m
k
k
b .
В практике численного моделирования большое распространение по-
лучили
методы Áдамса (Adams), которые представляют собой частный
случай многошаговых методов (4.5), когда производная
dtdv
аппрокси-
мируется только по двум точкам
n
t и
1−n
t , т. е. ,1
10
=−
=
aa 0
=
k
a ,
mk ,,3,2 K= .
Методы Адамса имеют вид
∑
=
−
−
=
−
m
k
knk
nn
Fb
h
xx
0
1
. (4.7)
В случае
0
0
=b методы Адамса называются явными, иначе – неявными.
Погрешностью аппроксимации на решении или невязкой разностного
метода
(4.5) принято называть функцию
,),(
00
∑∑
=
−−
=
−
+−=ε
m
k
knknk
m
k
kn
k
n
vtFbv
h
a
получающуюся в результате подстановки точного решения
)(
kn
tv
−
урав-
нения исходной модели в разностное уравнение (4.5).
В зависимости от выбора коэффициентов ),,1,0(,
mkba
kk
K
=
опре-
деляется порядок погрешности аппроксимации метода при 0
→h .
Установлено, что
наивысший порядок погрешности аппроксимации
m-шагового метода Адамса
( 1
0
≠
b ) равен 1
+
m, а наивысший порядок по-
грешности аппроксимации явного метода Адамса
(0
0
=
b ) равен m.
Сравнивая достоинства и недостатки одношаговых и многошаговых
методов, можно отметить следующее. В одношаговых методах для нахож-
дения решения в следующем узле сетки необходимо несколько раз вычис-
лять значение вектор-функции правой части ДУ. Одношаговые методы ти-

Страницы