Составители:
129
В соответствии с (4.5) может быть составлено однородное разностное
уравнение
,,1,,0
110
KK
+
=
=
+++
−−
mmnxaxaxa
mnmnn
(4.9)
коэффициенты которого
m
aa ,,
0
K
не зависят от n .
Частные решения уравнения (4.9) разыскиваются в виде степенной
последовательности
n
n
zx = . Если произвести подстановки
kn
kn
zx
−
−
= ,
mk ,,1,0 K= в (4.9) и сокращение на
mn
z
−
, то можно получить уравнение
полиномиального вида
,0)(
1
1
10
=++++=
−
−
mm
mm
azazazazD K (4.10)
не зависящее от
n , которое называется характеристическим уравнением
разностного уравнения
(разностного метода) (4.9).
Разностное уравнение (4.9) будет иметь решение
n
n
zx = (4.11)
тогда и только тогда, когда
z является корнем характеристического урав-
нения (4.10). При кратности корня 1
>
r
, частные решения разностного
уравнения (4.9) приобретают вид
.1,,1,0, −== rlznx
nl
n
K
Таким образом, поиск решения уравнения (4.9) сводится к отысканию
сеточной функции
n
x , удовлетворяющей при всех mn ≥ уравнению (4.9) и
принимающей при 1,,1,0
−
= mn K заданные начальные значения
110
,,,
−m
xxx K .
При 0
0
≠a уравнение (4.9) разрешается относительно
n
x :
1
0
1
1
0
1
0
−+−
−
−
−−−−=
nmn
m
mn
m
n
x
a
a
x
a
a
x
a
a
x
K ,
т. е. решение уравнения существует и единственно.
Разностное уравнение (разностный метод) (4.9)
устойчиво по началь-
ным данным
, если существует такое постоянное число
1
M , не зависящее
от
n , что при любых начальных данных
110
,,,
−
m
xxx K для решения спра-
ведлива оценка
K,1,,max
10
1
+=≤
−≤≤
mmnxMx
j
mj
n
.
Следовательно, устойчивость разностного метода означает равномерную
по
n ограниченность решения.
Устойчивость или неустойчивость уравнения (4.9) по начальным дан-
ным полностью определяется расположением корней характеристического
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 128
- 129
- 130
- 131
- 132
- …
- следующая ›
- последняя »
