Моделирование систем и комплексов. Душин С.Е - 132 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

131
где
21
, MM – постоянные числа, не зависящие от n .
Методы Адамса вида (4.7) всегда удовлетворяют условию корней, так
как для них 1
10
=−= aa и в соответствии с (4.11) 1
1
=
=
zz .
4.2.6. Условно устойчивые и абсолютно устойчивые
разностные методы
При моделировании процессов в непрерывной системе, представлен-
ной в форме (4.2), можно рассматривать аппроксимирующую её дискрет-
ную модель, записанную в виде разностного уравнения (4.5).
Как было установлено, устойчивость и сходимость разностного мето-
да определяются расположением корней характеристического уравнения
(4.9). Однако условие корней является слишком общим и не может учесть
некоторые характерные особенности
поведения исходной непрерывной
модели (4.2). Это условие означает лишь, что при
∞
→n все решения од-
нородного разностного уравнения, соответствующего (4.5), остаются огра-
ниченными. При выполнении условия корней коэффициенты
mkb
k
,,2,1,0, K= , входящие в правую часть уравнения (4.5), никак не
влияют на устойчивость.
Предположим, что заранее известна та или иная характерная особен-
ность поведения исходной непрерывной модели. Тогда естественно требо-
вать, чтобы эта особенность сохранялась и у дискретной модели. Конечно,
такое требование ведёт к сужению класса допустимых разностных мето-
дов.
Рассмотрим методы
численного моделирования непрерывных систем
(4.2), для которых известно, что процессы в них асимптотически устой-
чивы при любых начальных условиях.
В качестве модельного (тестового) примера, иллюстрирующего ука-
занное свойство, может быть выбрано апериодическое звено, представлен-
ное ДУ
0
)0(,0,0 vvtv
dt
dv
T =>=+ , (4.13)
где 0>
T
– постоянная времени звена. Свободный процесс на выходе звена
имеет вид
0,e)(
1
0
<−=λ=
−
λ
Tvtv
t
,
который монотонно убывает при
∞
→
t
. Для любых значений шага 0>h
выполняется неравенство
,)()( tvhtv
<
+
(4.14)
означающее асимптотическую устойчивость процесса. Это неравенство
должно выполняться и для дискретной модели.

Страницы