Составители:
132
Пусть дискретная модель описывается разностным методом Эйлера
K,1,0,
1
=λ=
−
+
nx
h
xx
n
nn
. (4.15)
Из уравнения (4.15) можно получить
.)1(
1 nnn
qxxhx
=
λ
+
=
+
Условие, аналогичное (4.14), т. е.
K,1,0,
1
=
<
+
nxx
nn
(4.16)
для разностного метода (4.15) будет выполнено тогда и только тогда, когда
1<q . В случае 0
<
λ это условие эквивалентно выполнению ограничения
на шаг h :
λ
<
<
/20 h . (4.17)
Действительно, можно записать последовательность неравенств:
11 <λ+ h ⇒ 111
<
λ
+<− h ⇒ 02
<
λ
<
−
h ⇒ 20 <λ
<
h ,
откуда следует (4.17).
Таким образом, разностный метод (4.15) устойчив в смысле выполне-
ния условия (4.16), если шаг h удовлетворяет (4.17).
Разностный метод (4.12) называется абсолютно устойчивым, если он
устойчив при любых 0>h , и условно устойчивым, если он устойчив при
некоторых ограничениях на шаг h .
Метод Эйлера (4.15) условно устойчив при условии (4.17).
Примером абсолютно
устойчивого метода для уравнения (4.13) с па-
раметром 0<λ является неявный метод Эйлера
,
1
1
+
+
λ=
−
n
nn
x
h
xx
для которого
11
1
<λ−=
−
hq
при любых 0>h .
Обобщая полученные результаты на асимптотически устойчивые мо-
дели СУ более высокого порядка, можно утверждать, что применяемые
явные разностные методы будут условно устойчивыми. Среди применяе-
мых неявных методов существуют абсолютно устойчивые.
Условная устойчивость является недостатком явного метода, так как
вынуждает брать слишком мелкий шаг h при моделировании
. Например,
если параметр 200−=λ , то условие (4.17) выполняется при шаге 01,0<h .
Для того чтобы вычислить процесс )(
t
v
при 1
=
t
, надо произвести не ме-
нее ста шагов по методу Эйлеру. Неявный метод лишён этого недостатка,
однако его применение к модели (4.2) приводит к необходимости решения
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- …
- следующая ›
- последняя »
