Моделирование систем и комплексов. Душин С.Е - 134 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

133
на каждом шаге системы конечных уравнений, в общем случае нелиней-
ной.
4.2.7. Жёсткие модели систем
Рассмотренные численные методы исследования поведения моделей,
представленных одним уравнением (4.2), без изменения переносятся на
модели, характеризуемые системами ДУ (4.1). Однако в случае численного
решения системы ДУ могут появиться дополнительные трудности, связан-
ные с разномасштабностью (разнотемповостью) процессов в системе,
представленной данной моделью.
Историческая справка. Ещё в 50-х годах прошлого века при модели
-
ровании динамических систем, описывающих, в частности, кинетику (ки-
нетика – область знаний, которая изучает скорость и механизмы химиче-
ских реакций) реагирующих друг с другом химических веществ, исследо-
ватели столкнулись с «неприятным» явлением. Расчёты производились с
помощью хорошо отлаженных программ с применением методов Рунге–
Кутта при автоматическом выборе шага интегрирования. В процессе
рас-
чётов шаг численного интегрирования быстро уменьшался до минимума
так, что часто не было никакой возможности получить процесс на требуе-
мом для практических приложений отрезке времени, даже используя наи-
более мощные ЭВМ.
Визуальный анализ правых частей уравнений указы-
вал на существенную разницу в значениях коэффициентов; они отличались
на несколько порядков. Затратив значительное машинное время, удалось
получить начальные отрезки траекторий и провести анализ ситуации. Вы-
явилась следующая характерная картина.
В начале процесса происходит значительное изменение вектора пере-
менных )(
t
v и выбираемый программой шаг численного интегрирования
вполне разумен: он сравнительно мал, но так и должно быть для интегри-
рования столь быстро меняющихся функций. Через небольшое время
t
ха-
рактер поведения резко меняется. Процесс становится значительно более
гладким, медленно меняющимся, но программа этого «не замечает» и вы-
бирает столь же малый шаг. Попытки принудительно «навязать» програм-
ме выбор существенно большего шага, согласованного с гладкостью про-
цесса, немедленно приводили к вычислительной катастрофе – стремитель-
но расходящемуся процессу. Модели с таким
поведением получили назва-
ние жёстких.
Жёсткие модели нередко встречаются в приложениях, например, в за-
дачах ядерной физики, механики, электротехники, автоматического управ-
ления, экономики, биологии, медицины и т. д. Поэтому изучению свойства
жёсткости моделей следует уделять самое пристальное внимание.

Страницы