Моделирование систем и комплексов. Душин С.Е - 136 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

135
Рассмотрим ещё один, часто встречающийся в литературе пример.
Система описывается линейным однородным ДУ 2-го порядка
.0)0(,1)0(,09999,0100
=
=
=
+
+
yyyyy
&&&&
Аналитическое решение ДУ приводит к движению вида
tt
ty
01,099,99
e0001,1e0001,0)(
−
−
+−=
.
Первая составляющая движения имеет начальное значение, равное
0001,0− . Эта составляющая быстро затухает. Вторая составляющая дви-
жения имеет начальное значение в
4
10 раз больше и убывает в
4
10 раз
медленнее. Таким образом, поведение системы определяется медленной
составляющей.
График точного решения приведён на рис. 4.7, а. На рис. 4.7, б пред-
ставлен график процесса, полученный с использованием численного мето-
да Эйлера. Расходящееся численное решение при неудачно подобранном
шаге
022,0=h включает высокочастотную составляющую.
y
3
10
t
0
1
2
3
10−
t
y
0
100 200
0,1
0,0
5,0
а б
Рис. 4.7. Графики решений: а – аналитического; б – численного
При анализе поведения рассматриваемых систем следует принимать
во внимание два существенных фактора:
1) строение поля направлений траекторий в окрестности изучаемой
временной траектории;
2) свойства матрицы
A , а в более общем, нелинейном случае – свой-
ства матрицы Якоби )(
vJ .
Анализ поля направлений жёстких моделей показал характерную кар-
тину, представленную на рис. 4.8. Траектория )(
t
v
состоит из короткого
участка быстрого её изменения, так называемого «пограничного слоя», и
длительного участка очень медленной её
эволюции, который обычно на-
зывают «квазистационарным режимом». Основные трудности связаны
именно с расчётом последнего.
Пограничный слой интегрируется с очень малым шагом, но он на-
столько мал, что время, затраченное на численное моделирование процес-
са, вполне приемлемо. На рис. 4.8 при помощи «микроскопа с последова-
тельно увеличивающимся разрешением» показана структура поля направ-

Страницы