Моделирование систем и комплексов. Душин С.Е - 148 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

147
Пример 4.12. Рассмотрим одношаговый метод 2-го порядка точности
()
),(),(
2
1
11
1
nnnn
nn
xtFxtF
h
xx
+=
−
++
+
.
Для уравнения (4.27) метод принимает вид
nn
qxx
=
+1
,
где
)5,01()5,01( μ−μ+=q . Неравенство 1
≤
q выполняется тогда и только
тогда, когда 0Re
≤
μ . Следовательно, метод является А-устойчивым.
Таким образом, при моделировании жёстких систем было бы жела-
тельно пользоваться именно А-устойчивыми методами, поскольку условия
их применения не накладывают ограничений на шаг h . Однако теоретиче-
ские исследования показали, что класс А-устойчивых методов весьма узок.
В частности, среди линейных многошаговых разностных методов вида
(4.5) не существует явных А-устойчивых методов. Существуют неявные
многошаговые А-устойчивые методы (пример 4.12), порядок точности ко-
торых не выше двух.
С целью расширения класса устойчивых методов вводится другое по-
нятие устойчивости.
Разностный метод называется А(
α
)-устойчивым, если область его
устойчивости образована углом
λ
=
μ
α
<
μ
−
h,)arg( (рис. 4.17, б) на ком-
плексной плоскости.
В частности, понятие А
(
)
2
π
-устойчивость совпадает с понятием А-
устойчивости.
Доказано [18], что ни для какого
α
не существует явного А(
α
)-
устойчивого линейного многошагового метода.
В настоящее время получены А(
α
)-устойчивые неявные методы 3-го
и 4–го порядков точности. К ним относятся, в частности, чисто неявные
многошаговые разностные схемы. Например, разностная схема Гира 4-го
порядка точности (см. табл. 4.5)
),(
12
316364825
4321
nn
nnnnn
xtF
h
xxxxx
=
+
−
+
−
−−−−
А(
α )-устойчива при некотором
α
.
Необходимо подчеркнуть, что все приведённые определения типов
устойчивости справедливы только для линейных систем, моделируемых с
постоянным шагом h .
Теория устойчивости для нелинейных систем, моделируемых с пере-
менным шагом, в настоящее время не разработана. Имеются только част-
ные результаты, подтверждающие, например, А-устойчивость неявного
метода Эйлера. Однако многолетняя практика моделирования
СУ показы-

Страницы