Составители:
157
Возможность сколь угодно точной равномерной (с равномерным ша-
гом) аппроксимации обеспечивается выполнением условий следующей
теоремы.
Теорема. Если функция )(
t
x
непрерывна на ],[
maxmin
tt , то для любого
0>ε существует ломаная функция )(
t
m
ϕ
(m – конечно), для которой
справедливо
ε
<
−
ϕ
)()( txt
m
.
Следствие. Любая непрерывная на
],[
maxmin
tt
функция может быть
аппроксимирована полиномиальной ломаной функцией )(
tp
nm
. В частно-
сти, аппроксимирующая функция может быть ступенчатой ломаной
)(
0
tp
m
или линейной ломаной )(
1
tp
m
. Следует отметить, что к классу кусочно-
полиномиальных аппроксимирующих функций относятся также и так на-
зываемые полиномиальные сплайны.
Абсолютная погрешность аппроксимации функции )(
t
x
интерполяци-
онным полиномом Лежандра (4.36) определяется остаточным членом этого
полинома
],[,)(max
)!1(
)(max
)(
11
)1(
++
+
∈
+
≤Δ
iin
n
i
ttttq
n
tx
tx
или
]1,0[,)(max
)!1(
)(max
)(
1
)1(
∈θΔθ+
+
Δθ+
≤Δ
+
+
iin
ii
n
i
ttq
n
ttx
tx .
Возвращаясь к рассматриваемой задаче, на каждом интервале дискре-
тизации
011
),,( Ttttt
iiii
+=
++
можно получить:
для 0=
n
0100
)(max)( TMTTtxtx
iii
=
θ
+
≤Δ
&
;
для 1=
n
88
)(max
4
)(max
2
1
)(
2
02
2
00
2
0
0
TM
TTtx
T
Ttxtx
i
i
ii
=
θ+
=θ+≤Δ
&&
&&
(так как
4)(max))((max)(max
2
000012
TTTTttttttq
iiii
=−θθ=−−=Δθ+
+
,
что достигается при 5,0=θ ). Здесь
ii
MM
21
, – максимальные значения мо-
дуля соответствующих производных на
i -м интервале дискретизации.
Для оценки максимальной погрешности аппроксимации на всём ин-
тервале моделирования процессов используются максимально возможные
значения модулей соответствующих производных
[]
{
}
[]
{
}
i
Ni
i
Ni
MMMM
2
,1
21
,1
1
max,max
∈∈
=
= ,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 156
- 157
- 158
- 159
- 160
- …
- следующая ›
- последняя »
