Моделирование систем и комплексов. Душин С.Е - 163 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

162
),(
1 ni
tz
−
),(
ni
tz ),(
1 ni
tz
+
),(
1+ni
tz
Рис. 4.27. Четырёхточечный шаблон явной разностной схемы
Для аппроксимации уравнения (4.38) в узловой точке ),(
ni
tz задаётся
четырёхточечный шаблон (рис. 4.27), состоящий из узлов
),(
1 ni
tz
±
,
),(
ni
tz , ),(
1+ni
tz . Производная tu
∂
∂
в точке ),(
ni
tz заменяется разност-
ным отношением
n
it
x
,
, а производная
22
zu ∂∂ – второй разностной произ-
водной
n
izz
x
,
, т. е. в выражениях
)(
),(
,
,
τ+=
∂
∂
=
=
Оx
t
tzu
n
it
tt
zz
n
i
,
)(
),(
2
,
,
2
2
hОx
z
tzu
n
izz
tt
zz
n
i
+=
∂
∂
=
=
отбрасываются величины высших порядков малости.
Функция ),(
t
z
f
в правой части уравнения (4.38) приближённо заме-
няется сеточной функцией
n
i
ϕ . В качестве
n
i
ϕ обычно рекомендуется одно
из следующих выражений:
),(
ni
tzf ,
∫
+
−
5,0
5,0
),(
1
i
i
z
z
n
dztzf
h
,
∫∫
+
+
−
τ
1
5,0
5,0
),(
1
n
n
i
i
t
t
z
z
dztzfdt
h
,
причём второе и третье выражения представляют собой соответственно
усреднение по координате и совместное усреднение по координате и по
времени.
В результате можно получить разностное уравнение
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
h
xxx
a
xx
ϕ+
+−
=
τ
−
−+
+
2
11
1
2
,
которое аппроксимирует исходное ДУЧП в точке
),(
ni
tz с первым поряд-
ком малости )(τ
O по τ и со вторым порядком малости )(
2
hO по h при ус-
ловии, что разность
),(
ni
n
i
tzf−ϕ
имеет тот же порядок малости
)(
2
hO +τ
.
Под разностной схемой понимается совокупность разностных урав-
нений, аппроксимирующих ДУЧП во всех внутренних узлах сетки, и до-
полнительные (начальные и граничные) условия – в граничных узлах сет-
ки.
В данном случае разностная схема имеет вид

Страницы