Составители:
34
0=
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
x
П
x
T
dt
d
&
. (2.8)
Уравнение (2.8) представляет собой специальный (частный) случай
уравнения движения Лагранжа с одной степенью свободы.
В общем случае
уравнения движения Лагранжа 2-го рода для систем
без потерь
(консервативных систем) записываются в следующем виде:
niQ
q
T
q
T
dt
d
i
ii
,,2,1, K
&
==
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
, (2.9)
причём
dtdqq
ii
=
&
. В аналитической механике переменные
i
q
и
i
q
&
приня-
то называть обобщёнными координатами и обобщёнными скоростями, а
присутствующие в правых частях обобщённые силы
i
Q являются потенци-
альными (консервативными) и определяются выражениями:
ni
q
П
QQ
i
ii
,,2,1,
п
K=
∂
∂
−== .
Система (2.9) характеризуется n степенями свободы.
Уравнения Лагранжа содержат )1(
+
n функций. Этими функциями
являются обобщённые силы
i
Q и кинетическая энергия
T
. Структура
уравнений сохраняется для любой выбранной системы координат и разли-
чие проявляется лишь в виде функций
i
Q и
T
, входящих в эти уравнения.
Поэтому принято говорить, что уравнения Лагранжа ковариантны отно-
сительно преобразования координат (например, при переходе от декарто-
вой системы координат к обобщённым координатам).
Разность между кинетической и потенциальными энергиями
)(),(),(
q
q
q
q
q
П
T
L
L
−
=
=
&&
, (2.10)
где
т
1
)(
n
qq K=q ,
т
1
)(
n
qq
&
K
&
&
=q , определяет лагранжиан (функцию Ла-
гранжа, кинетический потенциал) системы. Как видно из (2.10), кинети-
ческая энергия, в общем случае, зависит как от
q
, так и от
q
&
, тогда как по-
тенциальная – только от
q
.
С учётом (2.10) уравнения Лагранжа (2.9) для консервативной систе-
мы в случае отсутствия внешних (неконсервативных) сил можно записать
в виде однородных ДУ:
ni
q
L
q
L
dt
d
ii
,,2,1,0 K
&
==
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
. (2.11)
Из выражения (2.10) следует, что частные производные лагранжиана
равны
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- …
- следующая ›
- последняя »
